Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, mobilise des compétences fondamentales pour un élève de Première Spécialité, notamment dans le cadre de l'étude des suites arithmétiques et de la modélisation de phénomènes périodiques. L'énoncé nous présente deux coureurs, Marc et Jim, évoluant sur une piste de 400 mètres avec des rythmes différents. La problématique centrale repose sur la gestion des unités (temps, distance, vitesse) et sur la recherche d'un instant de synchronisation (le PPCM, ou plus petit commun multiple, des durées de tour).
Points de vigilance et notions de cours
- Conversion des unités : Il est crucial de savoir passer des minutes/secondes en secondes totales pour faciliter les calculs de multiples.
- Relation Vitesse/Distance/Temps : La formule $v = \frac{d}{t}$ doit être maîtrisée, en faisant attention à l'unité finale demandée (km/h).
- Modélisation par les suites : On peut considérer l'instant de passage au point A pour Marc comme une suite arithmétique $M_n = 120n$ et pour Jim comme $J_k = 100k$, où $n$ et $k$ sont les nombres de tours.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Durée de l'échauffement de Marc : Marc court 1 km, soit 1000 m. La piste mesure 400 m. Le nombre de tours effectués est de $1000 / 400 = 2,5$ tours. Comme il met 2 minutes par tour, la durée totale est de $2,5 \times 2 = 5$ minutes.
2. Vitesse moyenne de Marc : Marc parcourt 400 m en 2 minutes (soit 120 secondes). Pour obtenir sa vitesse en km/h, on calcule d'abord sa vitesse en m/min : $400 / 2 = 200$ m/min. En une heure (60 min), il parcourt $200 \times 60 = 12\,000$ mètres, soit 12 km/h.
3. Retrouvailles au point A : Marc met 2 min, soit 120 s par tour. Jim met 1 min 40 s, soit 100 s par tour. On cherche le plus petit multiple commun à 120 et 100. Les multiples de 120 sont : 120, 240, 360, 480, 600... Les multiples de 100 sont : 100, 200, 300, 400, 500, 600... Ils se retrouveront donc au bout de 600 secondes, soit 10 minutes. Pour Marc, cela représente $600 / 120 = 5$ tours. Pour Jim, cela représente $600 / 100 = 6$ tours.