Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice de géométrie dans l'espace propose une étude de solide complexe : la calotte sphérique. Bien que la formule du volume soit fournie, la difficulté réside dans la manipulation des variables, le respect des priorités opératoires et la conversion finale vers des unités de capacité (litres). En classe de Première Spécialité, ce type d'exercice permet de renforcer l'aisance avec les expressions littérales et d'introduire la notion de fonction de volume $V(h)$, qui est ici un polynôme de degré 3 en $h$.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences transversales sont nécessaires :

• Substitution et calcul littéral : Remplacer correctement le rayon $r$ et la hauteur $h$ sans confondre les deux données.
• Unités et conversions : Se souvenir que $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ litre}$ et que $1 \text{ litre} = 1000 \text{ cm}^3$. C'est une source d'erreur classique en examen.
• Géométrie plane appliquée au solide : Comprendre que le volume d'un parallélépipède rectangle est le produit de l'aire de la base par la hauteur ($V = L \times l \times H$).

Correction détaillée

1. Étude de l'aquarium sphérique

a) Calcul du volume exact :
On donne $r = 10$ cm et $h = 18$ cm. Appliquons la formule :
$V = \frac{\pi}{3} \times 18^2 \times (3 \times 10 - 18)$
$V = \frac{\pi}{3} \times 324 imes (30 - 18)$
$V = \frac{\pi}{3} \times 324 \times 12$
Simplifions par 3 : $12 / 3 = 4$.
$V = \pi \times 324 \times 4 = 1296\pi \text{ cm}^3$.
La valeur exacte est bien $1296\pi \text{ cm}^3$.

b) Approximation au litre près :
$V \approx 1296 \times 3,14159 \approx 4071,5 \text{ cm}^3$.
Sachant que $1000 \text{ cm}^3 = 1 \text{ litre}$, on a $V \approx 4,0715 \text{ L}$.
Au litre près, le volume est de 4 litres.

2. Transfert dans l'aquarium parallélépipédique

Le volume d'eau reste constant. Le nouvel aquarium a une base de $15 \times 20 = 300 \text{ cm}^2$.
Soit $H$ la hauteur atteinte par l'eau. On a l'équation :
$300 \times H = 1296\pi$
$H = \frac{1296\pi}{300} = 4,32\pi$
$H \approx 4,32 \times 3,14159 \approx 13,57 \text{ cm}$.
En arrondissant à l'unité, la hauteur atteinte est de 14 cm.