Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, pose des bases fondamentales de la géométrie plane indispensables au programme de Première Spécialité. Il sollicite la capacité de l'élève à traduire un programme de construction géométrique en relations algébriques. La problématique centrale repose sur l'utilisation répétée du théorème de Pythagore et la compréhension des propriétés de conservation des distances par un cercle (rayon). En classe de Première, cet exercice peut être abordé sous l'angle de la géométrie repérée en plaçant les points dans un repère orthonormé (A; B, D), ou via le calcul de distances algébriques.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs prérequis sont essentiels :

• Le Théorème de Pythagore : Savoir l'appliquer dans un triangle rectangle pour calculer une longueur exacte avec des racines carrées.
• Propriétés du carré : Les angles droits et l'égalité des côtés sont les piliers de la figure.
• Calcul avec les radicaux : Savoir que $(\sqrt{x})^2 = x$ est crucial pour démontrer les rapports d'aires.
• Algèbre du second degré : La résolution d'équations de la forme $x^2 = k$ pour retrouver une longueur de départ.

Correction détaillée et guide de résolution

Question 2.a : Calcul de AC
Dans le carré ABCD, le triangle ABC est rectangle en B. D'après le théorème de Pythagore : $AC^2 = AB^2 + BC^2$. Avec $AB = 10$, on a $AC^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$. On en déduit que $AC = \sqrt{200}$ cm. Il est préférable de garder la valeur exacte sous forme de racine pour la suite des calculs.

Question 2.b : Justification de AE
Le point E est situé sur le cercle de centre A et de rayon [AC]. Par définition, tous les points d'un cercle sont à égale distance du centre. Ainsi, la distance AE est égale au rayon du cercle, soit $AE = AC = \sqrt{200}$ cm.

Question 2.c : Rapport des aires
Calculons d'abord l'aire du carré ABCD : $Aire_{ABCD} = AB^2 = 10^2 = 100$ cm².
Pour le carré DEFG, nous avons besoin de son côté DE. Le triangle ADE est rectangle en A (car ABCD est un carré). D'après Pythagore : $DE^2 = AD^2 + AE^2$.
On sait que $AD = AB = 10$ et $AE^2 = (\sqrt{200})^2 = 200$.
Donc $DE^2 = 10^2 + 200 = 100 + 200 = 300$.
L'aire de DEFG est $DE^2 = 300$ cm². On constate bien que $300 = 3 \times 100$, donc l'aire de DEFG est le triple de celle de ABCD.

Question 3 : Recherche de la longueur initiale
On nous dit que $Aire_{DEFG} = 3 \times Aire_{ABCD}$.
Soit $x$ la longueur AB. L'aire de ABCD est $x^2$. L'aire de DEFG est donc $3x^2$.
On cherche $x$ tel que $3x^2 = 48$.
$x^2 = 48 / 3 = 16$.
Comme une longueur est toujours positive, $x = \sqrt{16} = 4$. Il faut donc choisir $AB = 4$ cm.