Analyse de l'énoncé

Cet exercice se divise en deux parties distinctes : une application directe des pourcentages de diminution et une étude de géométrie dans l'espace portant sur un solide complexe (composteur). Pour un élève de Première Spécialité, la première partie fait écho au chapitre sur les Suites (évolutions et coefficients multiplicateurs), tandis que la seconde sollicite des compétences de raisonnement géométrique et de conversion d'unités.

Points de vigilance

• Coefficients Multiplicateurs : Une diminution de $6,5\%$ revient à multiplier par $(1 - 0,065) = 0,935$, ou plus simplement à calculer $6,5\%$ de la valeur initiale.
• Conversions d'unités : Attention à la mixité des unités (mètres et centimètres). Pour le volume final, il est impératif de convertir les $cm^3$ en $m^3$ ($1 \text{ m}^3 = 1\,000\,000 \text{ cm}^3$).
• Décomposition du solide : Le composteur est un assemblage. Il faut bien séparer le pavé droit (base) du prisme droit (partie supérieure).

Correction Détaillée

1. Évolution de la production de déchets :
La diminution est de $6,5\%$ de $5,2$ tonnes :
$\text{Diminution} = 5,2 \times \frac{6,5}{100} = 0,338 \text{ tonnes}$.
La production en 2017 a donc diminué de $0,338$ tonne par rapport à 2007.

2. Géométrie et Volume :

• Calcul de CH : CH est la différence entre le grand côté et le petit côté du trapèze : $CH = 67 - 39 = 28 \text{ cm}$.
• Calcul de DH : Dans le triangle DHC rectangle en H, d'après le théorème de Pythagore :
  $CD^2 = CH^2 + DH^2 \Rightarrow 53^2 = 28^2 + DH^2 \Rightarrow 2809 = 784 + DH^2$.
  $DH^2 = 2809 - 784 = 2025 \Rightarrow DH = \sqrt{2025} = 45 \text{ cm}$.
• Aire du trapèze ABCD : $A = \frac{(39 + 67) \times 45}{2} = \frac{106 \times 45}{2} = 53 \times 45 = 2385 \text{ cm}^2$.
• Volume total : Le composteur est composé :
  1. D'un pavé droit (partie basse) de hauteur $1,1 \text{ m} - 0,45 \text{ m} = 0,65 \text{ m}$ (soit $65 \text{ cm}$).
  $V_1 = 67 \times 70 \times 65 = 304\,850 \text{ cm}^3$.
  2. D'un prisme droit de base ABCD et de largeur $70 \text{ cm}$ :
  $V_2 = 2385 \times 70 = 166\,950 \text{ cm}^3$.
  Volume Total : $V = 304\,850 + 166\,950 = 471\,800 \text{ cm}^3$.

Conclusion : $471\,800 \text{ cm}^3 = 0,4718 \text{ m}^3$. L'affirmation est vraie : la contenance est bien d'environ $0,5 \text{ m}^3$.