Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu de la session 2013, mobilise deux compétences fondamentales du programme de mathématiques : l'arithmétique, à travers la recherche de diviseurs communs, et l'algèbre linéaire, via la résolution de systèmes d'équations. La première partie demande une compréhension des propriétés de divisibilité (nombres premiers entre eux) et l'utilisation de l'algorithme d'Euclide pour optimiser une répartition en lots. La seconde partie exige une capacité de modélisation pour transformer un énoncé textuel en un système d'équations à deux inconnues.
Points de vigilance et notions requises
- Nombres premiers entre eux : Rappelons que deux nombres sont dits premiers entre eux si leur Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) est égal à 1.
- Critères de divisibilité : La reconnaissance rapide des diviseurs communs (comme 2 pour les nombres pairs) permet de répondre sans calcul aux questions de base.
- Méthodes de résolution : Pour le système d'équations, deux méthodes sont classiques : la substitution ou la combinaison linéaire. Ici, la combinaison est plus efficace.
- Précision des calculs : Attention à la gestion des nombres décimaux lors de la manipulation des prix des pâtisseries.
Guide de résolution détaillé
1. Arithmétique et PGCD
Question a : Les nombres 840 et 1176 se terminent respectivement par 0 et 6. Ce sont donc des nombres pairs, ce qui signifie qu'ils sont tous deux divisibles par 2. Leur PGCD est donc au moins égal à 2, ce qui prouve qu'ils ne sont pas premiers entre eux.
Question b : Pour vérifier si 21 lots sont possibles, on divise chaque quantité par 21. 840 / 21 = 40 et 1176 / 21 = 56. Les résultats étant des nombres entiers, il est possible de constituer 21 lots contenant chacun 40 financiers et 56 macarons.
Question c : Le nombre maximum de lots correspond au PGCD(1176, 840). Utilisons l'algorithme d'Euclide :
1176 = 1 * 840 + 336
840 = 2 * 336 + 168
336 = 2 * 168 + 0
Le dernier reste non nul est 168. Le pâtissier peut donc faire 168 lots. Composition : 840 / 168 = 5 financiers et 1176 / 168 = 7 macarons par lot.
2. Résolution du système d'équations
Soit f le prix d'un financier et m celui d'un macaron. L'énoncé nous donne :
Equation 1 : 5f + 7m = 22,40
Equation 2 : 8f + 14m = 42
Divisons l'équation 2 par 2 pour simplifier : 4f + 7m = 21. Nous avons maintenant un système plus simple :
1) 5f + 7m = 22,40
2) 4f + 7m = 21
En soustrayant (2) de (1), on obtient : (5f - 4f) + (7m - 7m) = 22,40 - 21, soit f = 1,40.
En remplaçant f dans (2) : 4 * 1,40 + 7m = 21 => 5,6 + 7m = 21 => 7m = 15,4 => m = 2,20.
Un financier coûte 1,40 € et un macaron 2,20 €.