Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice, bien qu'initialement issu d'un sujet de fin de collège, constitue un socle fondamental pour les élèves de Première Spécialité. Il permet de consolider les bases de la modélisation algébrique et de l'algorithmie débranchée. En mathématiques de spécialité, la capacité à transformer une suite d'instructions en une fonction explicite est cruciale pour l'étude des fonctions polynômes et des suites numériques.
L'exercice repose sur deux programmes de calcul distincts qu'il convient de traduire fidèlement par des expressions littérales. Cette étape de traduction est le point de départ de toute résolution de problème en analyse. Elle nécessite une rigueur particulière dans l'usage des parenthèses et le respect des priorités opératoires.
Points de vigilance et notions requises
- Modélisation fonctionnelle : Savoir poser $x$ comme variable de départ et exprimer le résultat sous la forme $f(x)$.
- Développement et réduction : Maîtriser la distributivité simple, notamment avec des coefficients négatifs.
- Résolution d'équations : Savoir isoler une inconnue dans une équation du premier degré.
- Comparaison d'expressions : Comprendre que pour prouver une égalité pour tout $x$, il est nécessaire de réduire les deux expressions à une forme identique.
Correction détaillée de l'exercice
1. Vérification pour la valeur 1 :
Pour Nina : $(1 - 1) \times (-2) + 2 = 0 \times (-2) + 2 = 2$.
Pour Claire : $1 \times (-\frac{1}{2}) + 1 = -0,5 + 1 = 0,5$.
On compare les résultats : $\frac{2}{0,5} = 4$. Le résultat de Nina est bien 4 fois plus grand que celui de Claire.
2. Détermination du nombre de départ pour obtenir 0 (Nina) :
Soit $x$ le nombre choisi. L'expression de Nina est $N(x) = (x - 1) \times (-2) + 2$.
Développons : $N(x) = -2x + 2 + 2 = -2x + 4$.
Résolvons $N(x) = 0 \iff -2x + 4 = 0 \iff 2x = 4 \iff x = 2$.
Nina doit choisir 2 pour obtenir 0.
3. Analyse de l'affirmation de Nina :
L'expression de Claire est $C(x) = -\frac{1}{2}x + 1$.
Calculons $4 \times C(x)$ :
$4 \times (-\frac{1}{2}x + 1) = 4 \times (-\frac{1}{2}x) + 4 \times 1 = -2x + 4$.
On constate que $N(x) = 4 \times C(x)$ pour n'importe quel nombre réel $x$. Nina a donc raison : son résultat sera toujours quatre fois supérieur à celui de Claire, quel que soit le nombre de départ choisi.
Conclusion pour la Première Spécialité
En spécialité mathématiques, cet exercice peut être prolongé par l'étude des fonctions affines définies par $N$ et $C$. On peut y voir l'étude de l'intersection de deux droites ou l'analyse d'un coefficient de colinéarité si l'on interprète ces programmes comme des composantes de vecteurs. La maîtrise du calcul littéral présentée ici est le prérequis indispensable à l'étude de la dérivation et des polynômes du second degré.