Introduction aux notions de l'exercice

Cet exercice de mathématiques du niveau 3ème aborde des thématiques centrales du programme de géométrie et d'analyse : le volume d'une boule, la lecture graphique de fonctions et la masse volumique. L'objectif est d'évaluer la capacité de l'élève à passer d'un modèle graphique à un modèle algébrique, tout en manipulant des grandeurs physiques réelles. Les notions de rayon, de volume en $\mathrm{cm}^3$, et de proportionnalité indirecte à travers la masse volumique sont au cœur de ce sujet de Brevet 2026.

Analyse Méthodique : Partie A - Lecture Graphique

La première partie repose sur l'exploitation d'une courbe représentative. Il s'agit d'une fonction de la forme $f(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Question 1 : Détermination de l'image

Pour déterminer graphiquement l'image de $3,6$ par cette fonction, l'élève doit se placer sur l'axe des abscisses (l'axe horizontal représentant le rayon en cm). Une fois la valeur $3,6$ repérée, il faut monter verticalement jusqu'à rencontrer la courbe rouge, puis projeter ce point horizontalement sur l'axe des ordonnées (le volume). La précision est ici cruciale : chaque petit carreau sur l'axe des abscisses représente $0,2$ unité, tandis que sur l'axe des ordonnées, le quadrillage fin est de $20\text{ cm}^3$ par division. Une lecture rigoureuse permet d'estimer le volume autour de $195\text{ cm}^3$.

Question 2 : Lecture de l'antécédent

À l'inverse, si l'on donne le volume ($660\text{ cm}^3$), on cherche l'antécédent. L'élève doit partir de la valeur $660$ sur l'axe vertical. En suivant la ligne horizontale jusqu'à la courbe, on redescend ensuite vers l'axe des abscisses pour lire le rayon correspondant. Cette gymnastique visuelle est essentielle pour comprendre la relation de dépendance entre deux variables.

Analyse Méthodique : Partie B - Calcul Algebrique et Application

Cette partie délaisse le graphique pour le calcul pur et l'application concrète dans un contexte de fabrication 3D.

Question 1 : Vérification du volume

On utilise la formule fournie : $V=\dfrac{4}{3} \times \pi \times R^{3}$ avec $R = 2,5$. Le calcul donne $V = \frac{4}{3} \times \pi \times 2,5^3 \approx 65,4498...$. L'énoncé demande un arrondi à l'unité, ce qui donne bien $65\text{ cm}^3$. L'élève doit faire attention à ne pas oublier la puissance au cube sur sa calculatrice et à bien utiliser la touche $\pi$ pour plus de précision avant l'arrondi final.

Question 2 : Division de quantité

Avec une bobine de $1000\text{ cm}^3$, on cherche combien de boules de $65\text{ cm}^3$ on peut fabriquer. C'est un problème de division euclidienne : $1000 \div 65 \approx 15,38$. Puisqu'on ne peut pas fabriquer une fraction de boule pleine, la réponse est $15$ boules au maximum. C'est un test classique sur la gestion des entiers dans un contexte réel.

Question 3 : La masse volumique

La masse volumique $\rho$ est définie par le rapport masse/volume. Pour trouver la masse $m$, on utilise la relation $m = \rho \times V$. Ici, $0,9\text{ g/cm}^3 \times 65\text{ cm}^3 = 58,5\text{ g}$. Cette question permet de vérifier la compréhension des unités composées et la capacité à extraire une donnée d'un énoncé pour l'injecter dans un calcul.

Les Pièges à éviter au Brevet

Le premier piège est l'unité de mesure. Confondre le rayon et le diamètre est une erreur fréquente, bien qu'ici le rayon soit explicitement donné. Un autre point de vigilance concerne la puissance $3$ dans la formule du volume : beaucoup d'élèves multiplient par $3$ au lieu d'élever au cube. Enfin, lors de la lecture graphique, l'erreur de parallaxe ou une mauvaise interprétation de l'échelle des axes peut coûter des points précieux.

Conseils de Rédaction pour l'Examen

Pour maximiser les points, l'élève doit toujours : 1. Citer la formule utilisée (ex: "On sait que $V = \frac{4}{3}\pi R^3$"). 2. Remplacer les lettres par les valeurs numériques avec les unités. 3. Présenter la phrase de conclusion clairement. Pour les lectures graphiques, il est conseillé de laisser les traits de construction (en pointillés) sur le sujet pour montrer au correcteur la méthode utilisée.