Introduction à la géométrie dans l'espace au Brevet

L'exercice 2 du sujet Brevet 2014 de la zone Amérique du Sud est un classique incontournable pour les élèves de 3ème. Il combine habilement trois thématiques majeures : Aires et périmètres, Géométrie dans l'espace, et Volumes. Ce type de problème teste non seulement la capacité de l'élève à appliquer des formules mathématiques de base, mais aussi sa faculté de visualisation dans un espace en trois dimensions. Comprendre comment un solide complexe peut être décomposé ou modifié est une compétence clé attendue à l'examen. Nous allons ici analyser le parallélépipède rectangle ABCDEFGH et la pyramide qui en est soustraite.

Analyse Méthodique : Calcul d'aires et de volumes

La première étape de l'exercice demande de démontrer que l'aire du triangle $FNM$ est de $6 \text{ cm}^2$. Pour réussir cette question, il faut identifier la nature du triangle $FNM$. Puisque $ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle, toutes ses faces sont des rectangles. Ainsi, l'angle $\widehat{NFM}$ (situé dans la face $EFGH$ ou une face parallèle) est un angle droit. Le triangle $FNM$ est donc rectangle en $F$. La formule de l'aire d'un triangle rectangle est simple : $\text{Aire} = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$. Avec $FN = 4 \text{ cm}$ et $FM = 3 \text{ cm}$, le calcul devient $\frac{4 \times 3}{2} = 6 \text{ cm}^2$. Il est crucial de bien citer les segments utilisés.

Ensuite, l'exercice aborde le calcul de volume de la pyramide de sommet $B$ et de base $FNM$. La formule est rappelée dans l'énoncé : $V = \frac{B \times h}{3}$. Ici, $B$ est l'aire du triangle $FNM$ que nous venons de calculer ($6 \text{ cm}^2$). La hauteur $h$ correspond au segment $[FB]$ car dans un parallélépipède rectangle, l'arête $[FB]$ est perpendiculaire à la face contenant le triangle $FNM$. Avec $FB = 5 \text{ cm}$, nous obtenons $V = \frac{6 \times 5}{3} = \frac{30}{3} = 10 \text{ cm}^3$. L'élève doit être vigilant sur l'unité de mesure.

Analyse du solide complexe et caractéristique d'Euler

La troisième partie s'intéresse au solide $ABCDENMGH$. C'est ce qu'on appelle un solide tronqué. Pour calculer son volume, la méthode la plus rapide est la soustraction : $\text{Volume Total} - \text{Volume de la pyramide}$. Le volume du parallélépipède est $L \times l \times h = 15 \times 10 \times 5 = 750 \text{ cm}^3$. En soustrayant les $10 \text{ cm}^3$ de la pyramide, on trouve $740 \text{ cm}^3$.

Enfin, l'exercice introduit la caractéristique d'Euler, notée $x = F - A + S$. C'est un concept fondamental de topologie. Pour le parallélépipède (qui est un hexaèdre), nous avons $F = 6$ faces, $A = 12$ arêtes et $S = 8$ sommets, donc $x = 6 - 12 + 8 = 2$. Pour le solide modifié, il faut être très attentif : en enlevant la pyramide, nous avons créé une nouvelle face (le triangle de coupe) mais nous avons 'cassé' un sommet ($F$) pour en créer trois nouveaux ($F$ disparaît au profit de $N$, $M$ et un point relatif, mais ici l'analyse se fait sur les sommets restants et ajoutés). En réalité, pour tout polyèdre convexe (sans trou), la caractéristique d'Euler est toujours égale à 2.

Les Pièges à éviter en Géométrie dans l'espace

Le piège principal réside dans la confusion des unités. Un volume s'exprime en $\text{cm}^3$ et une aire en $\text{cm}^2$. Une erreur de puissance dans l'unité peut coûter des points précieux. Un autre piège est l'identification de la hauteur d'une pyramide : elle doit toujours être perpendiculaire à la base. Dans un cube ou un parallélépipède, les arêtes adjacentes facilitent cette identification, mais il faut le justifier par la nature du solide. Enfin, pour le comptage des faces et arêtes du solide $ABCDENMGH$, l'erreur classique est d'oublier que la face supérieure a été modifiée (elle n'est plus un rectangle plein).

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
1. Nommez toujours la formule que vous utilisez avant d'injecter les valeurs numériques.
2. Précisez la nature des figures (ex: "Le triangle FNM est rectangle en F car ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle").
3. Structurez votre réponse avec des titres clairs pour chaque question.
4. Vérifiez la cohérence de vos résultats : le volume du solide restant doit impérativement être inférieur au volume initial.