Introduction aux notions clés du Brevet 2026

Cet exercice issu du sujet Asie 2026 est un classique incontournable pour tout élève de troisième préparant son Diplôme National du Brevet (DNB). Il mobilise un éventail complet de compétences géométriques : le théorème de Pythagore pour les calculs de longueurs dans un triangle rectangle, le théorème de Thalès pour les configurations en triangle, et enfin la géométrie dans l'espace avec le calcul de volume d'un cône de révolution et d'un tronc de cône. La structure de l'exercice est progressive, partant d'une configuration plane (2D) pour aboutir à une application concrète en trois dimensions (3D) avec la fabrication d'un gobelet. Comprendre le lien entre la figure plane (le triangle) et la figure de révolution (le cône) est la clé de la réussite ici.

Analyse Question 1 : Le Théorème de Pythagore

La première question demande de montrer que la longueur du segment [OA] est de 8 cm. Pour ce faire, il faut identifier le triangle rectangle dans lequel travailler. D'après le codage de la figure (présence d'un angle droit en A), le triangle OAD est rectangle en A. Nous connaissons l'hypoténuse $OD = 8,2$ cm et le côté opposé $AD = 1,8$ cm. Selon le théorème de Pythagore : $OA^2 + AD^2 = OD^2$. En isolant $OA^2$, on obtient $OA^2 = OD^2 - AD^2$, soit $OA^2 = 8,2^2 - 1,8^2 = 67,24 - 3,24 = 64$. La racine carrée de 64 étant 8, on confirme bien que $OA = 8$ cm. Astuce de professeur : Toujours bien rédiger l'introduction en précisant que le triangle est rectangle pour justifier l'usage du théorème.

Analyse Question 2 : Démontrer le parallélisme

La justification que les droites (BC) et (AD) sont parallèles repose sur une propriété fondamentale apprise en classe de sixième et réutilisée au collège : 'Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles'. Ici, l'énoncé et le codage indiquent que (AD) est perpendiculaire à (OB) et que (BC) est également perpendiculaire à (OB). Par conséquent, (AD) et (BC) sont parallèles. Cette étape est cruciale car elle valide l'utilisation future du théorème de Thalès pour calculer les longueurs manquantes.

Analyse Question 3 : L'application du Théorème de Thalès

Puisque nous avons établi que $(AD) \parallel (BC)$ et que les points O, A, B d'une part, et O, D, C d'autre part, sont alignés, nous sommes dans une configuration de Thalès. On peut écrire l'égalité des rapports : $\frac{OA}{OB} = \frac{OD}{OC} = \frac{AD}{BC}$. En utilisant les valeurs connues ($OA = 8$, $AD = 1,8$, $BC = 4,5$), nous utilisons l'égalité $\frac{8}{OB} = \frac{1,8}{4,5}$. Par un produit en croix, on trouve $OB = (8 \times 4,5) / 1,8 = 36 / 1,8 = 20$ cm. Note rédaction : Assurez-vous de bien citer les droites parallèles et les points alignés avant d'écrire les rapports de proportionnalité.

Analyse Question 4 : Volumes et Tronc de Cône

La dernière partie transpose les résultats précédents dans l'espace. Le grand cône a pour hauteur $H = OB = 20$ cm et pour rayon de base $R = BC = 4,5$ cm. Le volume $V$ est donné par $\frac{1}{3} \times \pi \times R^2 \times H$. Pour le grand cône : $V_{grand} = \frac{1}{3} \times \pi \times 4,5^2 \times 20 \approx 424$ cm³ après arrondi à l'unité. Pour calculer le volume du gobelet (le tronc de cône), il faut soustraire le volume du petit cône (de hauteur OA et de rayon AD) au volume du grand cône. Le volume du petit cône est $V_{petit} = \frac{1}{3} \times \pi \times 1,8^2 \times 8 \approx 27$ cm³. Le volume du gobelet est donc $V_{grand} - V_{petit} \approx 424 - 27 = 397$ cm³. Une autre méthode consiste à utiliser le coefficient de réduction $k = \frac{1,8}{4,5} = 0,4$. Le volume du petit cône est alors $k^3 \times V_{grand}$.

Les pièges à éviter le jour de l'examen

1. L'unité : Ne confondez pas le rayon et le diamètre. Ici, BC et AD sont bien les rayons. 2. La précision : Ne faites les arrondis qu'à la toute fin du calcul pour éviter les erreurs de précision cumulées. Utilisez la touche $\pi$ de votre calculatrice. 3. La rédaction : Ne vous contentez pas de donner le résultat. Expliquez chaque étape : 'Je sais que...', 'Or...', 'Donc...'. 4. L'oubli des carrés : Dans la formule du volume, n'oubliez pas d'élever le rayon au carré ($R^2$) !

Conseils de Rédaction pour maximiser vos points

Pour obtenir tous les points, soignez la présentation. Encadrez vos résultats finaux et n'oubliez jamais de mentionner l'unité (cm³ pour un volume, cm pour une longueur). Pour la question sur le parallélisme, la propriété géométrique doit être écrite en toutes lettres. Pour les volumes, écrivez d'abord la formule littérale avant de passer à l'application numérique. Cela montre au correcteur que vous connaissez votre cours même si vous faites une petite erreur de calcul par la suite.