Introduction aux Fonctions et à la Modélisation au Brevet
Dans ce premier exercice du sujet de Brevet 2026 (Zone Asie), nous abordons un pilier fondamental du programme de mathématiques de 3ème : les fonctions affines et linéaires. Ce chapitre est crucial car il permet de modéliser des situations réelles de la vie quotidienne, comme le choix d'un abonnement téléphonique ou d'un tarif de transport. L'objectif ici est de comparer deux offres commerciales (L'Offre A et l'Offre B) en utilisant d'abord l'arithmétique simple, puis en basculant vers l'algèbre pour une analyse plus fine sur le long terme. Les compétences évaluées sont la lecture de données, le calcul de valeurs, l'identification de modèles de fonctions et la résolution d'équations du premier degré à une inconnue.
Analyse Méthodique : Étape par Étape
1. Calcul Arithmétique sur 24 mois
La première question demande une comparaison directe au bout de 24 mois. C'est une étape de mise en confiance. Pour l'Offre A, le calcul se décompose en deux parties : le coût fixe à l'achat et les mensualités. On a : $175 + 16 \times 24$. En respectant les priorités opératoires, on multiplie d'abord 16 par 24, ce qui donne 384. En ajoutant les 175 euros initiaux, le coût total est de $559$ €. Pour l'Offre B, il n'y a pas de frais de départ, donc le calcul est une simple proportionnalité : $23 \times 24 = 552$ €. En comparant $552$ € et $559$ €, on constate que l'Offre B est légèrement plus avantageuse de 7 euros sur cette période précise.
2. Identification des Fonctions (Modélisation)
Dans la deuxième partie, nous introduisons la variable $x$, représentant le nombre de mois. Il s'agit d'associer les expressions algébriques aux offres concrètes. La fonction $g(x) = 23x$ est une fonction linéaire. Elle traduit une situation de proportionnalité parfaite (pas de valeur à l'origine). Elle correspond donc à l'Offre B. À l'inverse, $f(x) = 175 + 16x$ est une fonction affine. Le terme 175 représente l'ordonnée à l'origine (le coût fixe à l'achat), tandis que 16 est le coefficient directeur (le prix par mois). Elle correspond logiquement à l'Offre A. Cette étape est essentielle car elle transforme un problème commercial en un objet mathématique manipulable.
3. Résolution de l'Équation du Premier Degré
La question 2.b nous demande de trouver le point d'équilibre entre les deux offres, c'est-à-dire le moment où $f(x) = g(x)$. Pour résoudre $175 + 16x = 23x$, on commence par regrouper les termes en $x$ du même côté de l'égalité. En soustrayant $16x$ des deux côtés, on obtient $175 = 23x - 16x$, soit $175 = 7x$. Pour isoler $x$, on divise 175 par 7, ce qui nous donne $x = 25$. Mathématiquement, cela signifie que les deux courbes représentatives de ces fonctions se croisent au point d'abscisse 25. Concrètement, au bout de 25 mois, le coût total payé est strictement identique pour les deux abonnements.
4. Interprétation et Période d'Engagement
La question finale 2.c est une question de réflexion critique. On a trouvé que l'équilibre se fait à 25 mois. Or, l'énoncé précise que l'engagement est de 24 mois minimum. Puisque $25 > 24$, nous ne sommes plus dans la période d'engagement obligatoire. C'est un point de détail souvent négligé par les élèves mais fondamental pour obtenir l'intégralité des points. Cela signifie que le client a déjà regagné sa liberté contractuelle avant d'atteindre le point où l'Offre A devient potentiellement plus rentable que l'Offre B (car après 25 mois, l'abonnement moins cher de l'Offre A finit par compenser le prix d'achat élevé).
Les Pièges à Éviter
- Les Priorités Opératoires : Dans le calcul de l'Offre A, ne jamais additionner 175 et 16 avant de multiplier par 24. La multiplication est prioritaire.
- La confusion des fonctions : Rappelle-toi que la fonction linéaire passe par l'origine. S'il n'y a pas de frais fixes, c'est forcément $g(x) = 23x$.
- L'unité de la réponse : Pour la question sur le temps, exprime bien ta réponse en "mois".
Conseils de Rédaction pour le Jour J
Pour maximiser ta note au Brevet 2026, soigne la présentation de tes équations. Aligne les signes "=" et indique clairement l'opération que tu effectues sur chaque ligne (ex: "On soustrait 16x"). N'oublie pas de conclure chaque question par une phrase réponse claire qui reprend les termes de l'énoncé. Par exemple : "L'Offre B est la plus intéressante après 24 mois car son coût total est inférieur de 7 euros à celui de l'Offre A."