Introduction aux Fondamentaux du Brevet de Mathématiques

Le sujet du Brevet des Collèges 2016, session des centres étrangers, débute par un exercice classique mais exigeant : un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Cet exercice, bien qu'il ne demande pas de justification sur la copie, nécessite une maîtrise parfaite de trois piliers du programme de troisième : la trigonométrie, la notion de fonction (plus précisément la recherche d'antécédent) et le calcul numérique avec les nombres relatifs et les fractions.

Dans cette analyse détaillée, nous allons décomposer chaque question pour comprendre le raisonnement mathématique sous-jacent. L'objectif n'est pas seulement de trouver la bonne réponse, mais de consolider les bases pour l'ensemble de l'épreuve de mathématiques. En tant qu'expert SEO et professeur, je vous propose une immersion dans la méthodologie de résolution.

Analyse de la Question 1 : Maîtriser la Trigonométrie

La première question nous place dans un triangle ABC, rectangle en A. Les données sont les suivantes : $AB = 5$~cm et $AC = 7$~cm. On cherche la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ arrondie au degré près. Pour résoudre ce type de problème, il est impératif de se remémorer le célèbre moyen mnémotechnique : SOH CAH TOA.

Analysons la position des côtés par rapport à l'angle recherché $\widehat{\text{ABC}}$ :
1. Le côté [AC] est le côté opposé à l'angle $\widehat{\text{ABC}}$.
2. Le côté [AB] est le côté adjacent à l'angle $\widehat{\text{ABC}}$.
L'hypoténuse est [BC], mais sa longueur nous est inconnue.

Puisque nous connaissons le côté opposé et le côté adjacent, la formule la plus appropriée est celle de la tangente :
$\tan(\widehat{\text{ABC}}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{AC}{AB}$.
En remplaçant par les valeurs numériques, nous obtenons : $\tan(\widehat{\text{ABC}}) = \frac{7}{5} = 1,4$.

Pour trouver la mesure de l'angle, nous utilisons la fonction réciproque sur la calculatrice (souvent notée $\arctan$ ou $\tan^{-1}$). Le calcul $\arctan(1,4)$ nous donne environ $54,46^\circ$. Le sujet demande un arrondi au degré près. Puisque le chiffre après la virgule est 4 (inférieur à 5), nous arrondissons à l'unité inférieure : 54°. C'est la réponse B.

Analyse de la Question 2 : Comprendre les Fonctions et les Antécédents

La deuxième question porte sur une fonction affine $f$ définie par l'expression $f(x) = 3x - 2$. On nous demande de trouver l'antécédent de 8. Il est crucial de ne pas confondre 'image' et 'antécédent'.
- Calculer l'image de 8 reviendrait à calculer $f(8)$.
- Calculer l'antécédent de 8 revient à chercher la valeur de $x$ telle que $f(x) = 8$.

Posons et résolvons l'équation :
$3x - 2 = 8$
En ajoutant 2 des deux côtés, on obtient : $3x = 10$.
En divisant par 3, on trouve : $x = \frac{10}{3}$.
Une simple division nous montre que $x \approx 3,33$.

Analysons maintenant les propositions du QCM :
- Réponse A : inférieur à 3 (Faux, car 3,33 > 3).
- Réponse B : compris entre 3 et 4 (Vrai, car $3 < 3,33 < 4$).
- Réponse C : supérieur à 4 (Faux).

La réponse correcte est donc la Réponse B. Cet exercice montre l'importance de savoir passer d'un langage fonctionnel à un langage algébrique (équation).

Analyse de la Question 3 : Calcul Numérique et Priorités

La dernière question porte sur le calcul de la fraction $\dfrac{1- (- 4)}{- 2 + 9}$. C'est un test de rigueur sur les règles de signes et l'ordre des opérations. Une fraction agit comme une parenthèse invisible : il faut calculer le numérateur et le dénominateur séparément avant de simplifier.

1. Calcul du numérateur : $1 - (-4)$. Soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé. Donc $1 + 4 = 5$.
2. Calcul du dénominateur : $-2 + 9$. C'est une addition de nombres relatifs de signes contraires. On garde le signe du plus grand en valeur absolue (ici +) et on fait la différence. On obtient $7$.

La valeur exacte est donc $\frac{5}{7}$.
Comparons avec les réponses proposées :
- Réponse A : $\frac{5}{7}$ (Exact).
- Réponse B : 8 (Erroné).
- Réponse C : 0,7142857143. Attention ! Cette valeur est une approximation décimale de la fraction, mais le sujet demande explicitement la 'valeur exacte'. En mathématiques, une fraction irréductible est une valeur exacte, alors qu'une écriture décimale tronquée ne l'est pas.

La réponse juste est la Réponse A.

Les Pièges à Éviter lors du Brevet

Sur ce type de QCM, plusieurs erreurs classiques peuvent coûter des points :
1. En trigonométrie : Utiliser le cosinus ou le sinus par erreur. Vérifiez toujours si vous avez l'hypoténuse. Un autre piège est d'avoir la calculatrice en mode 'Radians' au lieu de 'Degrés'.
2. Sur les fonctions : L'erreur la plus fréquente est de calculer l'image au lieu de l'antécédent. Lisez bien l'énoncé. Si on demande l'antécédent de $y$, on résout $f(x) = y$.
3. En calcul numérique : L'erreur de signe est fatale. Rappelez-vous que 'moins par moins donne plus' uniquement dans une multiplication ou quand deux signes moins se suivent directement.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Même si cet exercice précise 'On ne demande pas de justifier', je vous conseille vivement de faire vos calculs proprement au brouillon. Pour les questions de trigonométrie, dessinez un petit schéma à main levée pour visualiser l'angle et les côtés. Pour les fractions, procédez étape par étape. Sur votre copie finale, respectez la consigne : indiquez le numéro de la question et recopiez l'affirmation choisie avec soin. Une présentation propre est toujours appréciée par le correcteur, même sur un QCM.