Introduction aux notions de grandeurs et fonctions

Cet exercice issu du sujet du Brevet 2017 (Polynésie) est un cas d'école pour tester la compréhension des élèves sur les notions de durées, de vitesses et de fonctions. L'énoncé nous plonge dans le contexte réel d'une étape du Tour de France 2016 avec le coureur Thomas Vœckler. Le candidat doit manipuler un tableau de données, réaliser un graphique et interpréter l'évolution d'une grandeur (la distance) en fonction d'une autre (le temps). Ce type d'exercice est fondamental car il lie l'arithmétique élémentaire à l'analyse fonctionnelle, deux piliers du programme de mathématiques de 3ème.

Analyse méthodique de l'exercice

La première partie de l'exercice demande une lecture attentive du tableau de valeurs. Pour la question 1, il s'agit d'identifier que 2 heures 30 minutes correspondent à 2,5 heures dans le tableau. Par simple lecture de la colonne correspondante, on trouve $80~km$. Cette étape semble triviale mais elle vérifie la capacité de l'élève à naviguer entre les écritures décimales et sexagésimales du temps.

La question 2 demande de calculer la distance parcourue lors de la troisième heure. Attention au vocabulaire : la "troisième heure" s'étend de $t = 2$ à $t = 3$. En regardant le tableau, on calcule la différence $100 - 70 = 30~km$. Cette notion de variation est le premier pas vers la compréhension du taux d'accroissement.

Pour la question 3, on compare la vitesse lors de la 3ème et de la 4ème heure. Rappelons que la vitesse moyenne se calcule par la formule $v = \frac{d}{t}$. Entre la 3ème et la 4ème heure (soit entre $t = 3$ et $t = 4$), le cycliste a parcouru $135 - 100 = 35~km$. Comme la durée est identique (1 heure), la vitesse lors de la quatrième heure ($35~km/h$) est supérieure à celle de la troisième ($30~km/h$).

Construction graphique et interpolation

La question 4 porte sur la représentation graphique. Le candidat doit placer 9 points sur un repère fourni. C'est un exercice de précision. La consigne précise que le point d'abscisse 1 ne peut être placé immédiatement. Relier les points par des segments de droite (interpolation linéaire) permet ensuite de répondre aux questions de lecture graphique. À la question 5, pour déterminer le temps mis pour parcourir $75~km$, on cherche l'ordonnée $y=75$ sur l'axe vertical, on se projette horizontalement sur la courbe, puis verticalement vers l'axe des abscisses. On lit environ $2,25~h$, soit 2 heures et 15 minutes.

La question 6 demande de déterminer la distance à $t=1$. En supposant une vitesse constante entre 0,5h et 1,5h, on cherche le milieu du segment reliant les points $(0,5 ; 15)$ et $(1,5 ; 55)$. Mathématiquement, on calcule la moyenne : $\frac{15+55}{2} = 35~km$.

La question de la linéarité (Notion de fonction)

Enfin, la question 7 aborde la nature de la fonction $f$. Une fonction est linéaire si et seulement si sa représentation graphique est une droite passant par l'origine. Ici, bien que la courbe passe par l'origine $(0 ; 0)$, elle n'est pas une droite unique mais une succession de segments de pentes différentes (les vitesses varient). On peut aussi prouver l'absence de proportionnalité : $\frac{15}{0,5} = 30$ mais $\frac{70}{2} = 35$. Les rapports ne sont pas égaux, donc $f$ n'est pas une fonction linéaire. Le mouvement n'est pas uniforme.

Les pièges à éviter au Brevet

Le piège principal réside dans la confusion entre les heures décimales et les minutes. N'écrivez jamais que $2,5~h$ est égal à $2~h~50~min$. Une autre erreur classique est de calculer la vitesse globale au lieu de la vitesse sur un intervalle spécifique. Soyez extrêmement vigilant sur les unités dans vos réponses : chaque valeur doit être accompagnée de $km$, $h$ ou $km/h$. Enfin, pour la lecture graphique, utilisez toujours des pointillés pour montrer votre cheminement sur le papier millimétré, c'est une preuve de rigueur appréciée par les correcteurs.

Conseils de rédaction pour maximiser ses points

Pour chaque question, commencez par citer les données du tableau ou du graphique. Exemple : "D'après le tableau, à $t = 2,5$, la distance est de $80~km$". Pour les calculs, posez systématiquement la formule utilisée avant de passer à l'application numérique. Pour la question sur la linéarité, une phrase claire comme "Les points ne sont pas alignés avec l'origine" suffit souvent, mais citer un contre-exemple de proportionnalité montre une maîtrise supérieure du sujet.