Introduction aux Automatismes du Brevet 2026

L'épreuve de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB) 2026, session Asie, met l'accent sur les automatismes. Cette partie, souvent présentée sous forme de Questions à Choix Multiples (QCM) ou de réponses courtes sans justification, est cruciale pour assurer des points rapides. Elle couvre l'ensemble du programme de 3ème : de l'arithmétique à la géométrie, en passant par les probabilités et la gestion de données.

Analyse de l'Écriture Scientifique (Question 1)

La première question porte sur l'écriture scientifique du nombre \(45310\). Pour rappel, l'écriture scientifique d'un nombre positif est de la forme \(a \times 10^n\), où \(1 \le a < 10\). Ici, nous devons déplacer la virgule de 4 rangs vers la gauche pour obtenir \(4,531\). Par conséquent, l'exposant de la puissance de 10 est 4. La réponse correcte est donc \(4,531 \times 10^4\). Le piège classique consiste à choisir un exposant négatif ou à garder deux chiffres avant la virgule comme dans la proposition A.

Développement et Identités Remarquables (Question 2)

L'expression \((4x-3)(4x+3)\) est une illustration parfaite de la troisième identité remarquable : \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\). En identifiant \(a = 4x\) et \(b = 3\), on obtient \((4x)^2 - 3^2 = 16x^2 - 9\). Attention à bien élever le coefficient 4 au carré, une erreur fréquente étant de proposer \(4x^2 - 9\) (Réponse A).

Géométrie : Volume du Pavé Droit (Question 3)

Le calcul du volume d'un pavé droit (parallélépipède rectangle) repose sur la formule simple : \(V = L \times l \times h\). Avec des dimensions de 4,5 cm, 4 cm et 10 cm, le calcul devient \(4,5 \times 4 \times 10 = 18 \times 10 = 180\). L'unité est le \(\text{cm}^3\). Il est impératif de vérifier la cohérence des unités avant de multiplier ; ici, toutes les données sont déjà en centimètres.

Arithmétique et Divisibilité (Question 4)

Pour savoir si un nombre est divisible par 9, on utilise le critère de divisibilité par 9 : la somme de ses chiffres doit être un multiple de 9. Pour \(N = 2025\), la somme est \(2+0+2+5 = 9\), donc \(N\) est divisible par 9. Pour \(P = 2026\), la somme est \(2+0+2+6 = 10\), qui n'est pas un multiple de 9. La réponse B est la seule exacte.

Vitesse Moyenne et Proportionnalité (Question 5)

Le calcul de la vitesse moyenne s'effectue via la formule \(v = d / t\). La personne parcourt 9 km en 45 minutes. Comme 45 minutes correspondent à \(3/4\) d'heure (soit 0,75 h), la vitesse est \(9 / 0,75 = 12\) km/h. Une autre méthode consiste à utiliser un tableau de proportionnalité : si on parcourt 9 km en 45 min, combien en 60 min ? \((9 \times 60) / 45 = 540 / 45 = 12\).

Probabilités en Secteurs (Question 6)

La roue est divisée en 10 secteurs de tailles égales. Pour calculer la probabilité d'un événement, on divise le nombre d'issues favorables par le nombre total d'issues. On compte 2 secteurs 'casque' sur un total de 10. La probabilité est donc \(2/10\), soit \(1/5\) ou 0,2 (soit 20%).

Pourcentages et Réduction (Question 7)

Une baisse de 10% sur un article de 60 € se calcule en deux étapes ou via un coefficient multiplicateur. 10% de 60 € vaut \(60 \times 0,10 = 6\) €. Le nouveau prix est donc \(60 - 6 = 54\) €. En utilisant le coefficient multiplicateur, on fait directement \(60 \times (1 - 0,10) = 60 \times 0,90 = 54\).

Trigonométrie et Angles (Question 8)

Dans un triangle rectangle (ici rectangle en C), la somme des angles aigus est égale à 90°. L'angle \(\widehat{B}\) vaut 40°, donc l'angle \(\widehat{A}\) (ou \(\widehat{BAC}\)) vaut \(90 - 40 = 50^\circ\). Ce rappel sur les angles complémentaires est essentiel pour gagner du temps lors de l'examen.

Statistiques : Effectif et Médiane (Question 9)

Pour la question 9.a, il faut sommer tous les effectifs du diagramme : \(3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 3 + 2 + 1 = 27\) élèves. Pour la médiane (9.b), avec un effectif total de 27, la médiane est la \(14^{\text{ème}}\) valeur (car \(27 = 13 + 1 + 13\)). En cumulant les effectifs par note croissante (en commençant par la note 6), on trouve que la \(14^{\text{ème}}\) note se situe dans la colonne correspondant à la note 10. La médiane est donc 10.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Même si aucune justification n'est demandée dans cette partie 'Automatismes', gardez un brouillon propre pour vos calculs intermédiaires. Relisez bien chaque énoncé : une confusion entre 'aire' et 'volume' ou entre 'divisible par 3' et 'divisible par 9' est vite arrivée. Assurez-vous d'avoir bien reporté le numéro de la question sur votre copie pour faciliter la correction.