Introduction aux notions du Brevet

Cet exercice issu de la session 2019 en Polynésie est un modèle du genre pour les élèves de troisième. Il combine trois piliers majeurs du programme de mathématiques : la géométrie plane avec le théorème de Pythagore, le calcul de périmètres et d'aires, et enfin la géométrie dans l'espace avec l'étude d'un prisme droit (volumes et grandeurs composées). L'objectif est de vérifier la capacité de l'élève à passer d'une figure complexe à des modèles géométriques simples tout en maîtrisant les conversions d'unités.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'énoncé nous présente un bac à sable en forme de prisme droit. La première étape cruciale est de bien décrypter la base du prisme, le polygone $ABCDE$.

1. Calcul de la longueur $CD$ : L'outil Pythagore

Pour calculer $CD$, il faut identifier le triangle rectangle $CPD$. L'énoncé indique que $B, C, P$ sont alignés et $E, D, P$ sont alignés, avec des angles droits marqués sur la figure. Le triangle $CPD$ est donc rectangle en $P$. On utilise les données $PC = PD = 1,30$ m. Selon le théorème de Pythagore : $CD^2 = CP^2 + PD^2$.
Calcul : $CD^2 = 1,3^2 + 1,3^2 = 1,69 + 1,69 = 3,38$.
$CD = \sqrt{3,38} \approx 1,838$ m. L'arrondi au centimètre donne $184$ cm ou $1,84$ m.

2. Nature du quadrilatère $ABPE$

L'observation du codage est essentielle. On note la présence de quatre angles droits aux sommets $A, E, P, B$. Un quadrilatère possédant trois angles droits est un rectangle. De plus, on nous donne $PC = PD = 1,30$ m et $ED = BC = 40$ cm ($0,40$ m).
Ainsi, $EP = ED + DP = 0,40 + 1,30 = 1,70$ m et $BP = BC + CP = 0,40 + 1,30 = 1,70$ m.
Puisque $ABPE$ est un rectangle avec deux côtés consécutifs égaux ($EP = BP$), c'est donc un carré de côté $1,70$ m.

3. Calcul du périmètre et logistique (planches)

Le périmètre du polygone $ABCDE$ est la somme des longueurs : $AB + BC + CD + DE + EA$.
On sait que $AB = AE = 1,70$ m, $BC = ED = 0,40$ m et $CD \approx 1,84$ m.
Périmètre $\approx 1,70 + 0,40 + 1,84 + 0,40 + 1,70 = 6,04$ m.
Pour la question des planches, on divise le périmètre total par la longueur d'une planche : $6,04 / 2,40 \approx 2,51$. On ne peut pas acheter de demi-planche dans ce contexte réel, il faut donc prévoir $3$ planches.

4. Aire et Volume : Le passage aux grandeurs composées

L'aire du polygone $ABCDE$ s'obtient par soustraction : Aire du carré $ABPE$ - Aire du triangle rectangle $CPD$.
Aire $ABPE = 1,70 \times 1,70 = 2,89$ m².
Aire $CPD = (1,30 \times 1,30) / 2 = 0,845$ m².
Aire $ABCDE = 2,89 - 0,845 = 2,045$ m².
Enfin, pour le volume de sable, on applique la formule : $V = \text{Aire de la base} \times \text{hauteur}$.
Attention à l'unité de la hauteur : $15$ cm $= 0,15$ m.
$V = 2,045 \times 0,15 = 0,30675$ m³.
Conversion cruciale : $1$ m³ $= 1000$ L, donc $0,30675$ m³ $= 306,75$ L. La réponse est donc oui, on a besoin de plus de $300$ L.

Les Pièges à Éviter

Le principal danger réside dans les unités de mesure. L'énoncé mélange centimètres et mètres. Il est impératif de tout convertir dans la même unité (le mètre est préférable ici) avant de débuter les calculs d'aire ou de volume. Un autre piège classique est l'arrondi : ne pas arrondir trop tôt les résultats intermédiaires ($CD^2$) pour ne pas fausser le résultat final sur le volume.

Conseils de Rédaction

Pour obtenir le maximum de points :
1. Citez explicitement le théorème utilisé (ex: "Dans le triangle CPD rectangle en P, d'après le théorème de Pythagore...").
2. Faites apparaître les calculs de conversion (ex: "$15$ cm $= 0,15$ m").
3. Concluez chaque question par une phrase réponse claire soulignant l'unité finale (m, m² ou L).