Introduction aux Probabilités et à l'Algorithmique au Brevet

L'épreuve de mathématiques du Brevet des Collèges 2025, notamment le sujet de Polynésie, met l'accent sur l'interdisciplinarité entre les mathématiques pures et la pensée informatique. Cet exercice 5 est un cas d'école : il combine l'étude d'un dé dodécaédrique (12 faces) avec une simulation sous Scratch. La maîtrise de ces deux domaines est cruciale pour obtenir une mention. Nous allons décomposer cet exercice pour comprendre comment l'analyse de données aléatoires se traduit en instructions de programmation.

Analyse Méthodique de la Partie A : Les Fondements des Probabilités

La première partie de l'exercice repose sur le concept d'équiprobabilité. Puisque le dé est équilibré, chaque face a exactement la même chance d'apparaître sur le dessus.

1. Comprendre la Probabilité Élémentaire

Pour la question 1, l'élève doit expliquer pourquoi $P(4) = \frac{1}{12}$. Le raisonnement attendu est simple mais doit être rigoureux : l'univers possède 12 issues possibles (les nombres de 1 à 12). Le nombre 4 ne figure qu'une seule fois sur les faces. La probabilité est donc le rapport du nombre d'issues favorables (1) sur le nombre total d'issues (12).

2. Dénombrement et Nombres Pairs

La question 2 demande la probabilité d'obtenir un nombre pair. La méthode consiste à lister ces nombres : $2, 4, 6, 8, 10, 12$. Il y a 6 issues favorables. La probabilité est donc $\frac{6}{12}$, ce qui se simplifie en $\frac{1}{2}$ ou 0,5. Il est essentiel de montrer que l'on a identifié la moitié des issues.

3. Comparaison de Fractions et de Décimaux

Tom affirme que la probabilité d'obtenir un multiple de 3 est supérieure à 0,3. Listons les multiples de 3 inférieurs ou égaux à 12 : $3, 6, 9, 12$. Il y en a 4. La probabilité est donc $\frac{4}{12}$, ce qui se simplifie en $\frac{1}{3}$. En effectuant la division, on obtient $1 \div 3 \approx 0,333...$. Puisque $0,333 > 0,3$, Tom a raison. Cette question évalue la capacité à passer d'une écriture fractionnaire à une valeur approchée décimale.

Analyse Méthodique de la Partie B : Algorithmique et Simulation

Dans cette partie, on quitte le lancer réel pour une simulation numérique. Le logiciel Scratch est utilisé pour modéliser la somme de deux dés à 12 faces.

1. Compléter le Bloc Lancer

Le bloc « Lancer » nécessite de définir des variables.
- La ligne 2 doit générer un nombre pour le Dé 1 : « mettre Dé 1 à nombre aléatoire entre 1 et 12 ».
- La ligne 3 fait de même pour le Dé 2 : « mettre Dé 2 à nombre aléatoire entre 1 et 12 ».
- La ligne 4 calcule la somme : « mettre Résultat à Dé 1 + Dé 2 ».
L'élève doit être vigilant : les variables utilisées dans la condition (ligne 4) doivent avoir été définies précédemment.

2. Exécution de l'Algorithme

Si Dé 1 = 8 et Dé 2 = 3, la variable 'Résultat' prend la valeur $8 + 3 = 11$. Le programme passe ensuite au test conditionnel : « si Résultat > 6 alors ». Comme $11 > 6$, la condition est vraie. Le programme exécutera la première branche de l'alternative et affichera « Gagné ! pendant 2 secondes ». La justification doit obligatoirement inclure le calcul de la somme et la comparaison avec le seuil (6).

Les Pièges à Éviter

Attention à la confusion entre multiples et diviseurs. Un multiple de 3 est dans la table de 3. Un piège classique est aussi de ne pas simplifier ses fractions. Bien que $\frac{4}{12}$ soit correct, présenter $\frac{1}{3}$ montre une meilleure maîtrise mathématique. En algorithmique, ne confondez pas le nom de la variable (Résultat) avec le message affiché (Gagné/Perdu).

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour maximiser vos points, utilisez toujours le vocabulaire spécifique : « univers », « issues », « équiprobabilité ». Pour Scratch, recopiez les blocs avec soin en respectant la casse des noms de variables. Une phrase de conclusion claire est nécessaire pour chaque question, surtout lorsqu'on demande si un personnage « a raison ».