Introduction à l'Algorithmique au Brevet des Collèges

L'exercice 6 du sujet de Polynesie 2017 est une illustration parfaite de l'intégration de l'informatique dans les mathématiques de niveau 3ème. Ce type d'exercice repose sur deux piliers majeurs du programme : l'algorithmique (via le logiciel Scratch) et le calcul littéral associé aux équations. Comprendre un script Scratch ne se limite pas à lire des instructions ; il s'agit de traduire une logique séquentielle en une expression mathématique rigoureuse.

Dans cet exercice, nous manipulons des variables, des entrées utilisateurs et des opérateurs arithmétiques pour aboutir à un résultat numérique. L'objectif est double : valider la compréhension d'un programme de calcul et savoir 'remonter' de la sortie vers l'entrée grâce à la résolution d'équations de type $x^2 = a$.

Analyse Méthodique du Script Scratch

Avant de répondre aux questions, analysons la structure du programme proposé. Le script commence par initialiser l'environnement en cachant les variables $x$ et $y$, ce qui est une bonne pratique en programmation pour ne pas encombrer l'écran. La commande 'demander Choisis un nombre et attendre' crée une interaction : la valeur saisie par l'utilisateur est stockée dans la variable système 'réponse'.

Le cœur du programme réside dans l'instruction : 'mettre y à x * x - 9'. Si l'on traduit cela en langage mathématique, on définit une fonction $f$ telle que $f(x) = x^2 - 9$. Ici, $x$ représente le nombre de départ et $y$ le résultat final. Cette étape de modélisation est cruciale pour ne pas se perdre dans les étapes suivantes.

Question 1 : Vérification par l'Image

On nous demande de montrer qu'en choisissant $2$, le programme renvoie $-5$. C'est une application directe de la formule que nous venons de trouver.
Étape 1 : Affecter $2$ à la variable $x$.
Étape 2 : Calculer $x^2 - 9$. On a donc $2^2 - 9 = 4 - 9 = -5$.
La rédaction sur la copie doit être claire : 'Si $x = 2$, alors $y = 2 \times 2 - 9 = 4 - 9 = -5$. Le programme affiche donc bien $-5$.' N'oubliez pas de citer les blocs Scratch pour justifier votre raisonnement.

Question 2 : Calculs d'Images (5 et -4)

Pour le nombre $5$ : On remplace $x$ par $5$ dans l'expression $x^2 - 9$. On obtient $5^2 - 9 = 25 - 9 = 16$. Le programme renverra donc $16$.
Pour le nombre $-4$ : C'est ici que réside le premier piège classique. En élevant un nombre négatif au carré, le résultat est toujours positif. On calcule $(-4)^2 - 9 = 16 - 9 = 7$.
Note pédagogique : Beaucoup d'élèves font l'erreur d'écrire $-4^2 = -16$. Rappelez-vous que dans Scratch comme en mathématiques, le carré porte sur toute la valeur contenue dans la variable $x$, donc les parenthèses sont implicites autour du nombre négatif.

Question 3 : Résolution de l'Équation (Antécédents de 0)

Cette question est la plus technique. On cherche $x$ tel que le résultat final $y$ soit égal à $0$. Cela revient à résoudre l'équation : $x^2 - 9 = 0$.
Il existe deux méthodes pour résoudre cela en 3ème :
1. La méthode de la racine carrée : $x^2 = 9$. On sait qu'il existe deux nombres dont le carré vaut $9$ : $\sqrt{9} = 3$ et $-\sqrt{9} = -3$.
2. La factorisation (Identité remarquable) : On reconnaît la forme $a^2 - b^2$ avec $x^2 - 3^2$. On peut donc écrire $(x - 3)(x + 3) = 0$. Selon la propriété du produit nul, soit $x - 3 = 0$ (donc $x = 3$), soit $x + 3 = 0$ (donc $x = -3$).
Il y a donc deux solutions possibles pour obtenir $0$ : choisir $3$ ou $-3$ au départ.

Les Pièges à Éviter

1. L'oubli de la solution négative : Dans la question 3, l'erreur la plus fréquente est de ne donner que '3' comme réponse. En 3ème, vous devez impérativement penser qu'une équation de type $x^2 = k$ possède deux solutions si $k > 0$.
2. Confusion entre multiplication et puissance : Le bloc Scratch utilise 'x * x'. Ne confondez pas cela avec '2 * x'. Le premier correspond au carré ($x^2$), le second au double ($2x$).
3. Lecture trop rapide du script : Prenez le temps de bien regarder l'ordre des blocs. Une instruction placée après un 'dire' ne sera pas prise en compte dans le calcul affiché.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points lors de l'examen du Brevet :
- Détaillez chaque étape de calcul, même pour les questions simples.
- Utilisez un vocabulaire précis : 'variable', 'affectation', 'image', 'antécédent'.
- Pour la question 3, énoncez clairement la propriété utilisée (produit nul ou racines de $x^2=k$).
- Présentez vos résultats de manière structurée : 'En choisissant le nombre ..., on obtient ...'. Cela montre au correcteur que vous avez compris l'interaction entre l'utilisateur et la machine.

Conclusion

Cet exercice de Polynesie 2017 est un excellent entraînement car il combine la rigueur du calcul algébrique et la logique de programmation visuelle. La maîtrise de Scratch est désormais indispensable pour réussir l'épreuve de mathématiques, car elle représente souvent entre 5 et 10 points sur les 100 points de l'épreuve totale. En pratiquant la conversion de scripts en fonctions mathématiques, vous vous assurez une compréhension profonde des mécanismes algorithmiques.