Introduction aux Probabilités au Brevet

L'exercice 3 du sujet de Mathématiques du Brevet des Collèges 2014 (Zone Métropole) est un classique incontournable qui combine deux notions fondamentales du programme de troisième : les probabilités et les pourcentages. Cet exercice repose sur l'analyse d'un tableau à double entrée, une compétence transversale que l'élève doit maîtriser pour interpréter des données statistiques en situation réelle. Dans cette analyse, nous allons décortiquer les méthodes de calcul et les réflexes à adopter pour garantir un maximum de points lors de l'examen.

Analyse Méthodique : Lecture et Exploitation du Tableau

La première étape cruciale pour réussir cet exercice est la lecture correcte du tableau. On nous présente une classe de collège répartie selon deux critères : le sexe (Fille ou Garçon) et le port de lunettes (Porte des lunettes ou Ne porte pas de lunettes).

Avant même de répondre aux questions, le bon réflexe de l'élève de 3ème est de calculer les totaux marginaux. Ajoutons mentalement ou au brouillon les lignes et les colonnes :

• Nombre total de filles : $3 + 15 = 18$
• Nombre total de garçons : $7 + 5 = 12$
• Nombre total d'élèves portant des lunettes : $3 + 7 = 10$
• Nombre total d'élèves ne portant pas de lunettes : $15 + 5 = 20$
• Effectif total de la classe : $18 + 12 = 30$ (ou $10 + 20 = 30$)

Une fois l'univers $\Omega$ défini avec $N = 30$, nous pouvons aborder les calculs de probabilités de manière sereine.

Question 1 : Calcul des Probabilités

L'infirmière ramasse une fiche au hasard, ce qui nous place dans une situation d'équiprobabilité. La probabilité d'un événement $A$ est donc donnée par la formule : $P(A) = \frac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombre total d'issues}}$.

a) Probabilité que la fiche soit celle d'une fille qui porte des lunettes

En croisant la ligne "Fille" et la colonne "Porte des lunettes", on identifie 3 élèves. Le nombre total de fiches est 30. La probabilité est donc de $\frac{3}{30}$. Il est impératif de simplifier cette fraction pour la rédaction finale : $\frac{3}{30} = \frac{1}{10} = 0,1$. L'élève peut donner la réponse sous forme de fraction simplifiée, de nombre décimal ou de pourcentage (10 %).

b) Probabilité que la fiche soit celle d'un garçon

Ici, on ne s'occupe pas des lunettes. On regarde le total de la ligne "Garçon". Il y a $7 + 5 = 12$ garçons dans la classe. La probabilité est donc $\frac{12}{30}$. En simplifiant par 6, on obtient $\frac{2}{5}$, soit $0,4$ ou 40 %. Cette question teste la capacité à sommer les bonnes données du tableau avant d'appliquer le ratio de probabilité.

Question 2 : Analyse des Pourcentages

La seconde partie de l'exercice porte sur les pourcentages. On nous demande de vérifier une affirmation ou d'analyser une proportion. Le texte indique que les élèves portant des lunettes représentent une certaine proportion. Calculons la proportion réelle : nous avons identifié 10 élèves portant des lunettes sur un total de 30. En mathématiques, la fréquence est $\frac{10}{30} = \frac{1}{3} \approx 0,333$. Soit environ 33,3 %.

L'énoncé de 2014 mentionne parfois un calcul spécifique pour tester si l'élève sait extraire un sous-groupe. Par exemple, si l'on cherchait la proportion de filles portant des lunettes parmi l'ensemble des filles, le calcul serait $3/18 \approx 16,6$ %. Maîtriser le vocabulaire (parmi, au total, dans la classe) est la clé pour ne pas se tromper de dénominateur.

Les Pièges Classiques à éviter

Plusieurs erreurs récurrentes sont observées lors de la correction de cet exercice :

1. L'erreur de dénominateur : C'est l'erreur la plus fréquente. L'élève utilise souvent le total d'une ligne au lieu du total général (par exemple $3/18$ au lieu de $3/30$). Il faut bien lire si le tirage se fait sur "toute la classe" ou sur un "groupe spécifique".
2. La mauvaise lecture du tableau : Confondre les lignes et les colonnes. Prenez le temps de surligner les informations utiles.
3. L'oubli de la simplification : Même si une fraction non simplifiée est mathématiquement correcte, les correcteurs attendent souvent une forme simplifiée ou décimale au Brevet.

Conseils de Rédaction pour maximiser ses points

Pour obtenir 100 % des points sur un tel exercice :

• Énoncez clairement la formule utilisée (Loi de Laplace).
• Précisez l'effectif total dès le début de votre raisonnement.
• Présentez vos résultats de manière lisible (soulignez ou encadrez la réponse finale).
• Faites des phrases de conclusion : "La probabilité que l'infirmière ramasse la fiche d'un garçon est de 0,4."

En suivant cette méthodologie, l'exercice sur les probabilités devient un réservoir à points facile d'accès qui valorise la rigueur et la lecture de données.