Introduction aux Fonctions et à la Modélisation au Brevet

L'exercice 3 du sujet de mathématiques du Brevet 2024 (zone Amérique du Nord) est un pilier fondamental du programme de 3ème. Il traite de la modélisation de situations concrètes par des fonctions mathématiques. À travers l'exemple d'un cinéma proposant trois tarifs distincts, l'élève doit jongler entre les calculs de base, l'identification de fonctions affines, linéaires et constantes, et l'interprétation d'un graphique complexe. La maîtrise de ces notions (fonctions, lecture graphique, proportionnalité) est indispensable car elles représentent environ 20% des points de l'épreuve finale.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice commence par une immersion dans le réel avec deux calculs de prix. Pour la question 1, le tarif « Classique » est une application directe de la multiplication : $3 \times 11 = 33$ €. C'est l'essence même d'une situation de proportionnalité. Pour la question 2, le tarif « Essentiel » introduit la notion de coût fixe (l'abonnement) et de coût variable (le prix par entrée). Le calcul $50 + 8 \times 5 = 90$ € prépare l'élève à l'écriture de la fonction affine.

La question 3 est le pivot de l'exercice. Elle demande d'associer des expressions algébriques à des tarifs. Voici le raisonnement attendu :
- $h(x) = 11x$ correspond au tarif Classique car le prix est directement proportionnel au nombre d'entrées $x$. C'est une fonction linéaire.
- $f(x) = 50 + 5x$ correspond au tarif Essentiel. Le 50 représente l'ordonnée à l'origine (abonnement) et 5 le coefficient directeur (prix par place). C'est une fonction affine.
- $g(x) = 240$ correspond au tarif Liberté. Peu importe $x$, le prix reste constant. C'est une fonction constante.

Lecture Graphique et Interprétation

La question 4 porte sur la proportionnalité. Pour qu'une situation soit proportionnelle, sa représentation graphique doit être une droite passant par l'origine. Ici, c'est la droite représentant le tarif Classique. C'est un point de cours essentiel à mentionner pour obtenir la totalité des points.

Les questions finales demandent une lecture graphique précise sur les droites $(d_1)$, $(d_2)$ et $(d_3)$.
a) Pour un budget de $150$ €, on regarde l'ordonnée $y=150$ sur la droite $(d_2)$ (tarif Essentiel) et on lit l'abscisse correspondante. Par le calcul, $150 = 50 + 5x \implies 100 = 5x \implies x = 20$. On peut donc acheter 20 entrées.
b) Le tarif Liberté devient avantageux quand sa droite $(d_3)$ est située en-dessous des deux autres. Cela se produit après le point d'intersection de $(d_3)$ et $(d_2)$. Graphiquement, cela se situe à partir de 38 entrées ($50 + 5x = 240 \implies 5x = 190 \implies x = 38$).
c) Pour un budget de $200$ €, on trace une ligne horizontale à $y=200$. On regarde quelle droite va le plus loin vers la droite (l'abscisse $x$ la plus élevée) avant de croiser cette ligne. Le tarif Essentiel permet d'aller jusqu'à 30 entrées ($200 = 50 + 5x \implies 150 = 5x \implies x = 30$), alors que le tarif Classique s'arrête à environ 18 entrées ($200 / 11 \approx 18,18$).

Les Pièges à Éviter

Attention à la confusion entre les axes : l'axe des abscisses (horizontal) représente toujours le nombre d'entrées, tandis que l'axe des ordonnées (vertical) représente le prix en euros. Une erreur classique consiste à inverser ces deux données lors de la lecture. Un autre piège réside dans l'échelle du graphique : vérifiez bien la valeur de chaque petit carreau avant d'affirmer une réponse. Enfin, ne confondez pas « le plus intéressant » (le moins cher, donc la courbe la plus basse) avec « le plus grand nombre d'entrées » pour un budget donné (la courbe qui atteint le budget le plus tardivement).

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Même quand la consigne précise « sans justifier », une petite phrase d'introduction permet de valoriser votre copie. Par exemple : « Par lecture graphique, on observe que... ». Pour les questions de calcul, détaillez toujours vos étapes comme montré dans l'analyse de la question 2. Utilisez un vocabulaire mathématique précis : parlez d'image, d'antécédent, de fonctions affines ou linéaires. Cela prouve au correcteur que vous maîtrisez non seulement le calcul, mais aussi les concepts théoriques sous-jacents.