Introduction aux notions de l'exercice

Cet exercice du Brevet 2024 de la zone Métropole met en lumière deux piliers fondamentaux du programme de mathématiques de 3ème : le calcul littéral et l'algorithmique (Scratch). L'objectif est de comparer deux programmes de calculs, l'un énoncé textuellement (Programme A) et l'autre présenté sous forme de blocs de programmation (Programme B). Ce type de sujet est extrêmement fréquent car il permet d'évaluer la capacité de l'élève à traduire un algorithme en une expression algébrique, puis à manipuler ces expressions pour démontrer une propriété générale. Les compétences visées incluent la substitution numérique, le développement d'expressions et la factorisation simple.

Analyse Méthodique de l'Exercice

La première partie de l'exercice demande une vérification numérique simple. Pour le Programme A avec le nombre 5 : on calcule d'abord le carré \(5^2 = 25\), puis on multiplie par 2 pour obtenir 50. On ajoute ensuite le double du nombre de départ, soit \(2 \times 5 = 10\), arrivant à 60. Enfin, on soustrait 4, ce qui donne bien 56. Ce processus étape par étape est crucial pour ne pas commettre d'erreur de priorité opératoire.

Pour le Programme B avec le nombre -9, il faut lire les blocs Scratch attentivement. Le bloc 'Résultat 1' effectue \(-9 + 2 = -7\). Le bloc 'Résultat 2' effectue \(-9 - 1 = -10\). Le bloc final multiplie ces deux résultats : \(-7 \times (-10) = 70\). Attention ici à la règle des signes : le produit de deux nombres négatifs est positif.

Passage au Calcul Littéral : L'expression de x

La question 2 marque le passage de l'arithmétique à l'algèbre. Pour le Programme B, on suit les variables : si l'entrée est \(x\), alors 'Résultat 1' devient \(x + 2\) et 'Résultat 2' devient \(x - 1\). Le programme affiche le produit, soit \((x + 2)(x - 1)\). L'expression correcte est donc \(E_2\). Pour le Programme A, la traduction littérale donne : \(x\) au carré multiplié par 2 (\(2x^2\)), plus le double de \(x\) (\(+ 2x\)), moins 4. L'expression finale est \(2x^2 + 2x - 4\).

Démonstration et Conclusion

La question 3 est le cœur du raisonnement mathématique. Pour démontrer que le résultat du Programme A est le double de celui du Programme B, il faut développer l'expression de B : \((x + 2)(x - 1) = x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2\). Si l'on multiplie ce résultat par 2, on obtient \(2(x^2 + x - 2) = 2x^2 + 2x - 4\), ce qui correspond exactement à l'expression trouvée pour le Programme A. Cette démonstration rigoureuse prouve que la relation est vraie pour n'importe quel nombre réel x choisi au départ.

Les Pièges à Éviter

Le premier piège réside dans les blocs Scratch : ne confondez pas l'addition et la multiplication. Dans 'Résultat 1', c'est bien une addition. Un autre point de vigilance concerne les signes négatifs lors de la substitution dans le Programme B. Enfin, dans la partie démonstration, l'erreur classique est d'oublier de distribuer le '2' sur l'ensemble des termes de l'expression développée. Prenez votre temps pour écrire chaque étape intermédiaire sur votre copie.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, soignez la présentation. Utilisez des connecteurs logiques comme 'On a', 'Or' et 'Donc'. Pour les questions Scratch, n'hésitez pas à réécrire la valeur des variables intermédiaires. Pour la démonstration finale, concluez par une phrase claire du type : 'On constate que l'expression de A est égale à deux fois l'expression de B, la propriété est donc démontrée pour tout nombre x'. Une copie aérée et structurée facilite grandement le travail du correcteur.