Introduction aux thématiques du Brevet 2023

Cet exercice numéro 3 issu du sujet de Mathématiques du Brevet des Collèges 2023 (Série Générale - Métropole) se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiple (QCM). Ce format est particulièrement prisé car il permet de tester un large panel de compétences en un temps réduit. Les notions abordées ici sont fondamentales pour tout élève de 3ème : le calcul de pourcentages, l'arithmétique avec la décomposition en facteurs premiers, le calcul de probabilités simples, la géométrie des transformations (rotation) et enfin la géométrie dans l'espace avec le calcul de volume et les conversions d'unités (mètres cubes vers litres).

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Maîtriser les Pourcentages

La première question nous place dans un contexte de classe de 25 élèves où l'on cherche à déterminer le nombre de filles sachant qu'elles représentent $60\ \%$ de l'effectif total. Pour résoudre ce problème, il faut appliquer le taux au total : $\text{Effectif} = \text{Total} \times \frac{\text{Pourcentage}}{100}$. Ici, cela nous donne $25 \times \frac{60}{100} = 25 \times 0,6 = 15$. La réponse B est donc la bonne. Le raisonnement doit être rapide mais précis : une erreur de placement de virgule mènerait à 1,5 ou 150, ce qui est physiquement impossible dans ce contexte.

2. L'Arithmétique et les Facteurs Premiers

La décomposition en produit de facteurs premiers est une compétence clé du cycle 4. Pour le nombre 126, nous devons chercher les diviseurs premiers successifs (2, 3, 5, 7, 11...). 126 est pair, donc divisible par 2 ($126 = 2 \times 63$). 63 n'est pas pair, mais la somme de ses chiffres ($6+3=9$) est divisible par 3, donc $63 = 3 \times 21$. De même, $21 = 3 \times 7$. Finalement, $126 = 2 \times 3 \times 3 \times 7 = 2 \times 3^2 \times 7$. La réponse C est l'unique décomposition correcte. La réponse A contenait '9', qui n'est pas un nombre premier (car $9 = 3^2$).

3. Calcul de Probabilités : Événements Disjoints

Dans un sac de $17+23+20 = 60$ jetons, on cherche la probabilité d'obtenir un jeton rouge OU jaune. Ces deux événements sont incompatibles. On additionne donc le nombre de cas favorables : $17 + 23 = 40$. La probabilité est donc de $\frac{40}{60}$. En simplifiant la fraction par 20, on obtient $\frac{2}{3}$. La réponse A est exacte. Notez que la réponse B (0,6) est une approximation par défaut, mais au Brevet, on privilégie la valeur exacte sous forme fractionnaire.

4. Géométrie : Rotation et Octogone Régulier

Un octogone régulier possède 8 sommets. L'angle au centre pour chaque segment est de $360 / 8 = 45^\circ$. La rotation de centre O qui transforme A en D correspond à un déplacement de 3 'crans' dans le sens des aiguilles d'une montre (ou inversement selon le schéma, mais restons sur l'ordre alphabétique visuel). Pour trouver l'image du segment [DC], on déplace chaque point de 3 crans : D devient G et C devient F. L'image est donc le segment [GF]. Réponse B.

5. Volumes et Conversions d'Unités

Le calcul du volume d'un pavé droit suit la formule : $V = L \times l \times h$. Avec les données $2\text{ m}$, $1,3\text{ m}$ et $1,5\text{ m}$, on obtient $2 \times 1,3 \times 1,5 = 3,9\text{ m}^3$. L'énoncé rappelle judicieusement que $1\text{ m}^3 = 1000\text{ L}$. Ainsi, $3,9 \times 1000 = 3900\text{ L}$. La réponse B est la bonne. Attention à ne pas s'arrêter au résultat brut en mètres cubes (réponse A qui valait 2,6 était un piège de calcul).

Les Pièges à Éviter

Le principal piège dans un QCM est la précipitation. Dans la question 2, beaucoup d'élèves choisissent la réponse A car elle est mathématiquement égale à 126, mais elle ne respecte pas la consigne 'facteurs premiers'. Pour la question 3, l'erreur classique est de diviser le nombre de rouges par le nombre de jaunes sans tenir compte du total. Enfin, pour les volumes, l'oubli de la conversion finale est la cause de perte de points la plus fréquente.

Conseils de Rédaction

Même si aucune justification n'est demandée ici, utilisez votre brouillon pour poser chaque calcul. Écrivez le numéro de la question et la lettre de réponse de manière très lisible. Si vous avez un doute, procédez par élimination : par exemple, dans la question 2, la réponse B peut être éliminée instantanément car elle comporte une addition, ce qui contredit la notion de 'produit' de facteurs.