Introduction aux fondamentaux du Brevet de Mathématiques

Cet exercice, issu du sujet de Nouvelle-Calédonie 2013, est un modèle de Questionnaire à Choix Multiples (QCM). En classe de 3ème, le QCM est un format d'épreuve redoutable car il exige une précision absolue : une erreur de calcul et le point est perdu, même si le raisonnement était correct. L'objectif ici est de balayer quatre compétences piliers du programme : l'appréciation des ordres de grandeur, la maîtrise de la notation scientifique (puissances de 10), la simplification de fractions et la manipulation des racines carrées. Ce type d'exercice teste votre capacité à mobiliser rapidement des automatismes de calcul numérique.

Analyse Méthodique de l'Exercice

Décortiquons chaque question pour comprendre les mécanismes logiques à l'œuvre.

1. Ordres de grandeur et unités de vitesse

La première question porte sur la vitesse d'une fourmi. Ici, il ne s'agit pas de calcul pur mais de bon sens et de connaissance des ordres de grandeur. Étudions les propositions :
- 4 km/s : C'est une vitesse supersonique (14 400 km/h), proche de celle d'un engin spatial.
- 4 m/s : Cela correspond à environ 14,4 km/h, soit la vitesse d'un bon coureur de fond.
- 4 cm/s : C'est la réponse réaliste pour un insecte. En maths, l'analyse dimensionnelle et la cohérence physique sont essentielles.

2. La notation scientifique et les distances astronomiques

La question 2 traite de la distance Terre-Lune : $\text{3,844} \times 10^5$ km. La notation scientifique est de la forme $a \times 10^n$, où $1 \leq a < 10$.
Ici, $10^5$ correspond à un facteur de 100 000. Ainsi, $\text{3,844} \times 100 000 = 384 400$ km.
La proposition B avec $10^{-5}$ donnerait une distance microscopique (inférieure à un millimètre), et la proposition C (3,844 km) est manifestement trop courte. La maîtrise des puissances de 10 est cruciale pour exprimer des ordres de grandeur très grands ou très petits sans multiplier les zéros.

3. Simplification de fractions et critères de divisibilité

On nous demande de simplifier $\dfrac{125}{625}$. Pour réduire une fraction, on cherche les diviseurs communs au numérateur et au dénominateur. On remarque immédiatement que ces nombres se terminent par 25 ou 5, ils sont donc divisibles par 5, 25, voire 125.
En effectuant la décomposition : $125 = 125 \times 1$ et $625 = 125 \times 5$.
En simplifiant par 125, on obtient $\dfrac{1}{5}$. La réponse C (125,625) est un piège grossier mélangeant les chiffres de la fraction, et la réponse A (1/6) est fausse car 625 n'est pas un multiple de 6.

4. Radical et simplification de racines carrées

La dernière question concerne $\sqrt{12}$. En 3ème, vous devez savoir extraire les carrés parfaits d'une racine. La règle d'or est $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$.
Cherchons un carré parfait (4, 9, 16...) qui divise 12. On sait que $12 = 4 \times 3$.
Donc $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3}$.
Comme $\sqrt{4} = 2$, on obtient $2\sqrt{3}$.
Attention : ne confondez pas $\sqrt{12}$ avec $12/2=6$ ou avec $4\sqrt{3}$ qui vaudrait $\sqrt{16 \times 3} = \sqrt{48}$.

Les pièges à éviter lors d'un QCM de Mathématiques

Le principal danger est la précipitation. Dans la question sur la distance Terre-Lune, un élève distrait pourrait choisir $10^{-5}$ par confusion sur le signe de l'exposant. De même, pour les racines carrées, l'erreur classique est de diviser le nombre sous la racine par 2 (ce qui donne 6 ici) au lieu de chercher un carré parfait. Enfin, pour les fractions, vérifiez toujours si votre résultat final est irréductible. Un autre conseil : lisez bien la consigne. Ici, il est précisé qu'aucune justification n'est demandée, donc ne perdez pas de temps à rédiger sur votre copie, mais faites-le rigoureusement au brouillon !

Conseils de rédaction pour le Brevet

Même si cet exercice ne demande pas de justification, la présentation sur la copie doit être propre. Indiquez clairement le numéro de la question et la lettre ou la valeur choisie. Par exemple : "Question 1 : 4 cm/s". Cela facilite le travail du correcteur et limite les risques d'erreur de lecture. Pour réussir ce type d'épreuve, entraînez-vous à faire ces calculs sans calculatrice dans un premier temps pour renforcer votre agilité mentale, puis utilisez-la pour vérifier vos résultats.