Introduction aux Transformations Géométriques au Brevet

Les transformations font partie des piliers de la géométrie au cycle 4. Cet exercice, issu du sujet du Brevet 2021 pour la zone Amérique du Nord, sollicite la capacité de l'élève à identifier et manipuler des concepts fondamentaux : la symétrie axiale, la symétrie centrale et la rotation. L'énoncé présente une figure complexe, une sorte de rosace composée de carrés identiques répartis autour d'un point central $O$. L'enjeu est de savoir passer d'une figure à l'autre en identifiant les éléments caractéristiques de chaque transformation (axe, centre, angle et sens).

Analyse Méthodique de l'Exercice

La figure de départ est un carré $ABCD$. On nous indique que la figure globale est obtenue par des rotations successives de centre $O$ et d'angle $45^{\circ}$. C'est un indice crucial : $360^{\circ} / 45^{\circ} = 8$. Il y a donc 8 positions possibles, formant un octogone régulier virtuel. La figure est également symétrique par rapport à la droite $(DB)$ et au point $O$.

Question 1 : La Symétrie Axiale

Pour la première question, il faut identifier deux carrés images l'un de l'autre par la symétrie d'axe $(DB)$. La symétrie axiale est une transformation par 'pliage'. Si l'on plie la figure le long de la droite $(DB)$, quels carrés se superposent ? On remarque que la droite $(DB)$ est verticale sur le dessin. Ainsi, le carré numéro 1 se trouve à gauche de l'axe et son symétrique sera le carré numéro 8 à droite (ou inversement). De même, on pourrait citer les paires (2, 7) ou (3, 6). Conseil : Choisissez toujours la paire la plus évidente visuellement pour éviter toute erreur de lecture.

Question 2 : La Symétrie Centrale

La question porte sur le carré numéro 3 et le carré numéro 8 par rapport au centre $O$. Une symétrie centrale équivaut à un demi-tour ($180^{\circ}$). Pour vérifier si 3 est l'image de 8, on trace (mentalement ou au brouillon) le segment reliant le centre du carré 8 au point $O$. En prolongeant ce segment de la même longueur, arrive-t-on au centre du carré 3 ? Sur cette figure, l'image du carré 8 par la symétrie centrale de centre $O$ est le carré 4 (car $8 \rightarrow 4$ correspond à 4 décalages de $45^{\circ}$, soit $180^{\circ}$). Par conséquent, le carré 3 n'est pas l'image du carré 8 par cette symétrie. L'image de 3 serait le carré 7.

Question 3 : La Rotation (Sens et Angle)

Ici, on étudie la rotation de centre $O$ qui transforme le carré 1 en carré 2. Sur la figure, pour passer de 1 à 2, on effectue un décalage d'un 'cran' dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens anti-horaire), ce qui correspond à un angle de $+45^{\circ}$. On nous demande l'image du carré 8 par cette même rotation. En appliquant un décalage de $45^{\circ}$ dans le même sens, le carré 8 se déplace vers la position occupée par le carré 1. L'image du carré 8 est donc le carré 1.

Question 4 : Image d'un segment par rotation

Cette question est plus subtile car elle demande l'image d'un segment précis $[EF]$. On cherche d'abord la transformation qui envoie le carré 2 sur le carré 5. En comptant les crans : de 2 à 3 ($45^{\circ}$), de 3 à 4 ($90^{\circ}$), de 4 à 5 ($135^{\circ}$). C'est une rotation de $135^{\circ}$ dans le sens anti-horaire. Le segment $[EF]$ appartient au carré 3. Attention, il faut bien suivre la position des lettres ! Le point $E$ et le point $F$ vont subir cette rotation de $135^{\circ}$. En observant la correspondance des sommets sur les carrés successifs, on identifie le segment image sur le carré cible.

Les Pièges à Éviter

• Le sens de rotation : Ne confondez pas le sens horaire (négatif) et le sens anti-horaire (positif). Regardez toujours la flèche de progression.
• Axe vs Centre : Une erreur classique consiste à utiliser une symétrie axiale là où une symétrie centrale est demandée. Rappelez-vous : l'axe est une droite (pliage), le centre est un point (demi-tour).
• La confusion des points : Dans la question 4, ne vous contentez pas de donner le nom du carré. On demande l'image d'un *segment*. La réponse doit être un segment (deux lettres entre crochets).

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Même si l'énoncé précise 'aucune justification n'est demandée', dans un exercice classique de 3ème, il est recommandé de structurer votre réponse : 'L'image du carré X par la rotation de centre O et d'angle 45° est le carré Y'. Utilisez un vocabulaire précis : image, centre, axe, sens horaire/anti-horaire. Cela montre au correcteur que vous maîtrisez les définitions mathématiques au-delà de la simple observation visuelle.