Introduction aux notions clés de l'exercice

Cet exercice, issu du sujet du Brevet des Collèges 2019 (série Grèce), est un classique de l'épreuve de mathématiques. Il mobilise plusieurs compétences fondamentales du programme de 3ème : la géométrie dans l'espace avec le calcul de volumes (cône et cylindre), l'utilisation des coefficients d'agrandissement-réduction (ou le théorème de Thalès), et la gestion de données avec les pourcentages. La difficulté réside dans la capacité de l'élève à extraire les informations pertinentes d'un énoncé complexe pour mener à bien une prise d'initiative structurée.

Analyse Méthodique de l'exercice

L'énoncé nous présente Jean, qui fabrique 400 cônes de frites. La sauce est versée dans le fond du cône, formant elle-même un petit cône de hauteur $FS = 5$ cm, tandis que le cône total a une hauteur $BS = 20$ cm.

1. Déterminer le rayon du cône de sauce

Pour la première question, il faut démontrer que $EF = 1,5$ cm. Deux approches sont possibles :

• La réduction : On remarque que le cône de sauce est une réduction du grand cône. Le coefficient de réduction $k$ est le rapport des hauteurs : $k = \frac{FS}{BS} = \frac{5}{20} = 0,25$. On applique ce coefficient au rayon du grand cône. Puisque le diamètre $AC = 12$ cm, le rayon $AB$ est de $6$ cm. On a alors $EF = k \times AB = 0,25 \times 6 = 1,5$ cm.
• Thalès : Dans le triangle $SAB$, les droites $(EF)$ et $(AB)$ sont parallèles car elles sont toutes deux perpendiculaires à l'axe $(BS)$. D'après le théorème de Thalès : $\frac{SE}{SA} = \frac{SF}{SB} = \frac{EF}{AB}$. Soit $\frac{5}{20} = \frac{EF}{6}$, d'où $EF = \frac{5 \times 6}{20} = 1,5$ cm.

2. Calcul du volume de sauce par cône

On utilise la formule du volume d'un cône de révolution : $V = \frac{\pi \times R^2 \times h}{3}$. Ici, $R = EF = 1,5$ cm et $h = FS = 5$ cm. Le calcul donne : $V = \frac{\pi \times 1,5^2 \times 5}{3} = \frac{\pi \times 2,25 \times 5}{3} = 3,75 \pi \approx 11,78$ cm³. Il est crucial ici de ne pas arrondir trop tôt dans les calculs intermédiaires pour garantir la précision finale demandée.

3. Gestion des stocks de sauce (Initiative et Pourcentages)

C'est la partie la plus dense qui demande une organisation rigoureuse. Jean fabrique $400$ cônes.

• Répartition des sauces : $80\%$ des clients choisissent la mayonnaise, soit $400 \times 0,80 = 320$ cônes. $20\%$ choisissent la sauce tomate, soit $400 \times 0,20 = 80$ cônes.
• Besoins en volume : Pour la mayonnaise, le volume total nécessaire est $320 \times 11,78 \approx 3769,6$ cm³. Pour la sauce tomate, il faut $80 \times 11,78 \approx 942,4$ cm³.
• Contenance des bouteilles : La bouteille de mayonnaise est un cylindre de diamètre $5$ cm ($r = 2,5$ cm) et hauteur $15$ cm. Son volume est $V_{mayo} = \pi \times 2,5^2 \times 15 \approx 294,52$ cm³. La bouteille de sauce tomate contient $500$ mL, ce qui équivaut à $500$ cm³ d'après l'aide mémoire.
• Nombre de bouteilles : Pour la mayo : $3769,6 \div 294,52 \approx 12,8$. Il faut donc commander $13$ bouteilles. Pour la tomate : $942,4 \div 500 \approx 1,88$. Il faut donc commander $2$ bouteilles.

Les Pièges à éviter

L'erreur classique dans cet exercice est de confondre le diamètre et le rayon, notamment pour la bouteille de mayonnaise. Pensez toujours à vérifier si la valeur donnée est un diamètre $[AC]$ ou $[EG]$ ou une distance au centre. Une autre difficulté est la conversion d'unités : n'oubliez pas que $1$ cm³ est égal à $1$ mL, donc $1000$ cm³ correspondent à $1$ Litre. Enfin, pour le nombre de bouteilles, on arrondit toujours à l'unité supérieure, car on ne peut pas acheter de demi-bouteille et il ne doit pas en manquer.

Conseils de Rédaction

Pour obtenir tous les points, structurez votre copie : citez les formules de volume utilisées, détaillez les étapes de calcul des pourcentages et concluez chaque partie par une phrase explicite. Même si un calcul semble faux, laissez vos traces de recherche sur la copie : les examinateurs valorisent énormément la démarche scientifique et la prise d'initiative dans ce type d'exercice long.