Introduction aux notions d'Arithmétique du Brevet

L'exercice 1 du sujet Brevet Métropole 2019 est un classique incontournable portant sur l'arithmétique. Ce chapitre, central au programme de troisième, demande aux élèves de maîtriser deux compétences clés : la décomposition en produits de facteurs premiers et la recherche de diviseurs communs, souvent via le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur). L'arithmétique n'est pas seulement une branche théorique des mathématiques ; elle est le fondement de la cryptographie moderne et de la gestion des données. Dans cet exercice, nous utilisons ces concepts pour résoudre un problème concret de partage équitable de trésor, une mise en situation typique des épreuves de fin de collège.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'énoncé nous présente un capitaine de navire avec trois types de richesses : $69$ diamants, $1150$ perles et $4140$ pièces d'or. L'objectif est double : décomposer ces nombres puis trouver un nombre de marins permettant un partage sans reste.

Question 1 : La décomposition en facteurs premiers

Pour décomposer un nombre en produits de facteurs premiers, il faut tenter de le diviser par la liste des nombres premiers dans l'ordre croissant ($2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...$).

Pour $69$ : On remarque que $6+9 = 15$, qui est divisible par $3$. Ainsi, $69 = 3 \times 23$. $23$ est un nombre premier, la décomposition s'arrête là.

Pour $1150$ : Le nombre se termine par $0$, il est divisible par $10$ ($2 \times 5$). $1150 = 115 \times 10 = 115 \times 2 \times 5$. Ensuite, $115$ se termine par $5$, donc $115 = 5 \times 23$. Au final, la décomposition de $1150$ est $2 \times 5^2 \times 23$.

Pour $4140$ : De même, $4140 = 414 \times 2 \times 5$. $414$ est pair : $414 = 2 \times 207$. $207$ est divisible par $9$ ($2+0+7=9$), donc par $3^2$. $207 = 9 \times 23$. La décomposition finale est $2^2 \times 3^2 \times 5 \times 23$.

Question 2 : Le problème du partage équitable

Le terme « équitablement » signifie que chaque marin reçoit exactement le même nombre de diamants, de perles et de pièces d'or. Mathématiquement, cela implique que le nombre de marins doit être un diviseur commun aux trois nombres : $69$, $1150$ et $4140$.

En observant les décompositions obtenues à la question précédente :
- $69 = 3 \times 23$
- $1150 = 2 \times 5^2 \times 23$
- $4140 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 23$

Le seul facteur premier commun aux trois listes est $23$. Par conséquent, le plus grand diviseur commun (PGCD) de ces trois nombres est $23$. Puisque l'énoncé suggère une distribution totale (« toutes les pièces... ont été distribuées »), et en l'absence d'autres diviseurs communs évidents autres que 1, il y a $23$ marins. Chaque marin recevra alors $3$ diamants, $50$ perles et $180$ pièces d'or.

Les Pièges à éviter

Le piège principal en arithmétique est de ne pas mener la décomposition jusqu'au bout. Par exemple, oublier que $23$ est un nombre premier et chercher à le diviser davantage. Un autre piège fréquent est de confondre « nombre premier » et « nombre impair ». Rappelez-vous que $2$ est le seul nombre premier pair, et que de nombreux nombres impairs (comme $9$ ou $15$) ne sont pas premiers. Enfin, lors du partage, assurez-vous que votre diviseur divise bien TOUTES les quantités et pas seulement deux d'entre elles.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
1. Listez clairement les étapes de vos divisions successives pour la décomposition.
2. Écrivez explicitement la phrase : « Le nombre de marins doit être un diviseur commun à 69, 1150 et 4140. » Cela montre au correcteur que vous avez compris le lien entre le problème concret et l'outil mathématique.
3. Concluez toujours par une phrase réponse claire, en vérifiant la cohérence du résultat par rapport à l'histoire (un nombre de marins doit être un entier positif raisonnable).