1. Introduction aux notions clés du sujet 2025

Cet exercice, issu des épreuves du Brevet des collèges 2025 (Zone Étrangers), est un modèle de polyvalence. Il mobilise trois piliers du programme de troisième : les probabilités, l'arithmétique et l'algorithmique via l'interface Scratch. L'objectif est de tester votre capacité à modéliser une situation réelle (un digicode) sous forme mathématique et informatique. Nous allons décomposer chaque question pour comprendre la logique attendue par les correcteurs.

2. Analyse détaillée de l'expérience aléatoire

L'expérience consiste à choisir un code composé d'une lettre (A, B ou C) et d'un chiffre (de 0 à 9). C'est ce qu'on appelle une expérience aléatoire à deux étapes, même si ici les questions traitent souvent les étapes de manière indépendante.

3. Guide méthodologique question par question

Question 1 : Proposer deux codes possibles

Pour cette question, il suffit de respecter la consigne de format : une lettre suivie d'un chiffre. Les exemples sont nombreux : $A0$, $B7$, $C9$, etc. C'est une question de mise en confiance, mais restez rigoureux sur le format cité dans l'énoncé.

Question 2 : Probabilité de choisir la lettre C

Ici, on s'intéresse uniquement à la première partie du code. L'univers des lettres possibles est $\{A, B, C\}$. Il y a donc $3$ issues au total. L'événement « choisir la lettre C » correspond à $1$ seule issue favorable. La probabilité est donc de $\dfrac{1}{3}$. En rédaction, n'oubliez pas de préciser qu'il y a équiprobabilité car rien n'indique qu'une lettre est plus fréquente qu'une autre.

Question 3 : Probabilité d'obtenir le chiffre 7

De même, on se concentre sur les chiffres de $0$ à $9$. Attention au piège classique : il y a bien $10$ chiffres au total ($0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$) et non $9$. Comme il n'y a qu'un seul chiffre $7$ dans cette liste, la probabilité est de $\dfrac{1}{10}$. Cette valeur peut aussi s'écrire $0,1$ ou $10\%$.

Question 4 : Arithmétique et nombres premiers

C'est ici que l'arithmétique intervient. La grand-mère aime les nombres premiers. Rappelons la définition : un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Dans la liste des chiffres de $0$ à $9$, les nombres premiers sont : $2, 3, 5$ et $7$.
Attention : $0$ n'est pas premier, et $1$ n'est pas premier (car il n'a qu'un seul diviseur).
Il y a donc $4$ issues favorables sur $10$ possibles. La probabilité est $\dfrac{4}{10}$, ce qui se simplifie en $\dfrac{2}{5}$ ou $0,4$.

4. Dénombrement et logique de sécurité

Question 5a : Temps nécessaire pour tester tous les codes

Pour savoir si Léna peut ouvrir la porte en moins de 3 minutes, il faut d'abord calculer le nombre total de combinaisons possibles.
Il y a $3$ choix pour la lettre et $10$ choix pour le chiffre. Le nombre total de codes est donc $3 \times 10 = 30$.
Chaque test prend $5$ secondes. Le temps total est $30 \times 5 = 150$ secondes.
Convertissons 3 minutes en secondes : $3 \times 60 = 180$ secondes.
Comme $150 < 180$, Léna réussira à tester tous les codes en moins de 3 minutes. Elle est donc certaine d'ouvrir la porte.

Question 5b : Analyse critique du système

Un système avec seulement $30$ combinaisons n'est absolument pas sécurisé. Un individu malveillant peut le forcer en moins de 3 minutes, comme nous venons de le démontrer. Pour améliorer ce système, on pourrait :
1. Augmenter le nombre de caractères (ex: 4 chiffres au lieu d'un seul).
2. Autoriser plus de lettres ou des symboles spéciaux.
3. Ajouter une temporisation (bloquer le clavier après 3 essais infructueux).

5. Algorithmique : Comprendre le script Scratch

Le programme utilise des variables pour stocker la saisie de l'utilisateur. La structure conditionnelle « si... alors... sinon » est le cœur de l'algorithme.

Question 6a : Test du code B5

Le programme vérifie la condition : `lettre saisie = B` ET `chiffre saisi = 7`.
Pour le code B5, la lettre est bien B, mais le chiffre est 5. La condition globale est donc FAUSSE (car pour un « ET », les deux conditions doivent être vraies simultanément). Le programme exécute donc le bloc « sinon » et affiche : « Code faux ».

Question 6b : Identification du code correct

D'après la condition `si lettre saisie = B et chiffre saisi = 7`, le seul code qui permet d'afficher « Code correct » est le code B7.

6. Les pièges classiques à éviter

• L'oubli du zéro : Dans l'intervalle [0 ; 9], il y a 10 chiffres. C'est l'erreur la plus fréquente au Brevet.
• La définition du nombre premier : Ne confondez pas nombre premier et nombre impair. 1 n'est pas premier, 2 est le seul premier pair.
• Unités de temps : Faites toujours vos calculs dans la même unité (tout en secondes ou tout en minutes) pour comparer des durées.
• L'opérateur ET : En programmation, `Condition A ET Condition B` n'est vraie que si A et B sont vraies en même temps.

7. Conseils de rédaction pour le jour J

Pour obtenir le maximum de points :
1. Citez vos formules (ex: Nombre d'issues favorables / Nombre d'issues totales).
2. Justifiez vos calculs de dénombrement (3 x 10 = 30).
3. Pour Scratch, explicitez le passage dans la boucle SI/ALORS. Une réponse directe sans explication peut être pénalisée.