Introduction aux transformations géométriques du Brevet

Dans le programme de mathématiques de la classe de troisième, les transformations du plan occupent une place centrale. Cet exercice, extrait du sujet du Brevet des collèges 2018 (Zone Asie), se concentre spécifiquement sur l'homothétie et les notions d'agrandissement-réduction. L'homothétie est une transformation qui permet de modifier la taille d'une figure tout en conservant sa forme et ses proportions. Contrairement à la translation ou à la rotation, elle n'est pas une isométrie, car elle ne conserve pas les distances (sauf si le rapport est 1 ou -1). Maîtriser ce concept est essentiel car il fait le lien entre la géométrie pure et les calculs de proportionnalité, préparant ainsi les élèves aux notions de fonctions linéaires et de vecteurs au lycée.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice nous présente une série de figures (A, B, C, D, E) construites à partir d'un centre commun $O$ avec des rapports d'homothétie différents. On observe que ces figures sont alignées sur des demi-droites partant de $O$.

1. Déterminer le rapport d'homothétie de A vers C

Pour répondre à cette question, il faut observer la position des figures par rapport au centre $O$. Dans une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$, si un point $M$ est transformé en $M'$, alors la distance $OM'$ est égale à $k \times OM$ (si $k$ est positif). En observant attentivement les points marqués par des signes '+' sur la figure, on constate une graduation régulière. La figure A se situe à 1 unité du centre $O$. La figure B est à 2 unités, la figure C à 3 unités, la figure D à 4 unités et la figure E à 5 unités. Ainsi, pour passer de la figure A à la figure C, le rapport de l'homothétie est de 3. Puisque la figure C est trois fois plus "éloignée" du centre que la figure A sur la même ligne, le rapport $k$ est égal à 3.

2. Application d'un rapport de réduction $\frac{3}{5}$ à la figure E

Ici, on part de la figure E et on lui applique une homothétie de rapport $\frac{3}{5}$ et de centre $O$. Pour trouver la figure résultante, on effectue le calcul suivant : la figure E est associée au rapport 5 par rapport à la figure de base A ($OE = 5 \times OA$). En multipliant la distance $OE$ par le rapport donné, nous obtenons : $5 \times \frac{3}{5} = 3$. Le résultat de ce calcul nous indique que la figure obtenue se situera à une distance correspondant au rapport 3 depuis l'origine $O$. En nous référant à notre analyse précédente, le rapport 3 correspond à la figure C. C'est une application directe de la multiplication des rapports d'homothétie : $k_{final} = k_1 \times k_2$.

3. Relation entre rapport de longueur et rapport d'aire

La dernière question aborde une notion cruciale du cycle 4 : l'effet d'un agrandissement ou d'une réduction sur les aires. La règle d'or à retenir est la suivante : si les longueurs d'une figure sont multipliées par un rapport $k$, alors son aire est multipliée par $k^2$. L'énoncé nous demande quelle figure a une aire quatre fois plus grande que celle de la figure A. Nous cherchons donc un rapport $k$ tel que $k^2 = 4$. En résolvant cette équation simple (puisqu'on traite ici des distances positives), on trouve $k = \sqrt{4} = 2$. Nous devons donc identifier la figure qui correspond à une homothétie de rapport 2 à partir de la figure A. D'après nos observations sur le schéma, il s'agit de la figure B.

Les Pièges à Éviter

Le piège le plus fréquent dans ce type d'exercice concerne la confusion entre le rapport des longueurs et le rapport des aires. Beaucoup d'élèves ont tendance à penser que si l'aire est quadruplée, le rapport d'homothétie est également 4, ce qui les conduirait à répondre "figure D" par erreur. N'oubliez jamais que l'aire évolue au carré du rapport ! Un autre point de vigilance est le centre de l'homothétie. Ici, toutes les transformations partent du point $O$. Si le centre changeait, les rapports ne seraient plus directement lisibles sur les graduations de l'axe $(OA)$. Enfin, bien que l'énoncé précise qu'aucune justification n'est attendue pour certaines questions, il est fortement recommandé sur votre brouillon de noter vos calculs ($k^2 = 4$ ou $5 \times 0,6 = 3$) pour éviter les erreurs d'inattention sous le stress de l'examen.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Même si l'énoncé indique "Aucune justification n'est attendue", la clarté de votre copie est votre meilleure alliée. Si vous avez le temps, une courte phrase comme "Par homothétie de centre O et de rapport 3, la figure A est transformée en figure C" montre au correcteur que vous maîtrisez le vocabulaire technique. Pour la question sur l'aire, précisez bien que vous utilisez la propriété des aires dans un agrandissement : "Le rapport d'agrandissement des longueurs est la racine carrée du rapport des aires". Cela valorise votre copie et sécurise vos points. En géométrie, la précision des termes (homothétie, rapport, centre) est tout aussi importante que le résultat numérique final.

Extension et Réflexion : Vers le Lycée

La notion d'homothétie introduite au collège est le socle de la géométrie vectorielle de la classe de Seconde. En effet, dire que $M'$ est l'image de $M$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ équivaut à écrire l'égalité vectorielle $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$. Comprendre graphiquement que les points $O$, $M$ et $M'$ sont alignés est une première étape vers la notion de colinéarité des vecteurs. De plus, cet exercice illustre parfaitement l'utilisation des logiciels de géométrie dynamique (comme GeoGebra) qui sont désormais omniprésents dans l'enseignement des mathématiques. Savoir interpréter une figure produite par ordinateur est une compétence numérique clé du socle commun de connaissances et de compétences.