Introduction aux Probabilités au Brevet
L'exercice 1 du sujet de Mathématiques du Brevet des Collèges 2017 (Métropole) porte sur une notion fondamentale du programme de troisième : les probabilités. Cet exercice utilise l'exemple classique du tirage de boules dans une urne (ici un sac opaque) pour tester la capacité de l'élève à manipuler des fractions, à comprendre la différence entre fréquence expérimentale et probabilité théorique, et à effectuer des calculs de quantités à partir de données probabilistes. Les probabilités représentent souvent une part importante des points de l'épreuve car elles font appel à la fois au calcul numérique et au raisonnement logique.
Analyse Méthodique de l'Exercice
L'énoncé nous présente un sac de $120$ boules. La première information cruciale est que ces boules sont indiscernables au toucher. Cette précision est essentielle en mathématiques : elle garantit une situation d'équiprobabilité. Cela signifie que chaque boule a exactement la même chance d'être tirée au sort. Sans cette mention, les calculs de probabilité classique ne pourraient pas s'appliquer.
1. Calcul de la probabilité des boules bleues
La première question demande de calculer la probabilité de tirer une boule bleue. On sait qu'il y a $30$ boules bleues sur un total de $120$. La formule de base à appliquer est : $P(\text{Bleue}) = \frac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombre d'issues totales}}$.
Ici, cela nous donne $P = \frac{30}{120}$. Cependant, l'énoncé exige une fraction irréductible. Il faut donc simplifier : $\frac{30}{120} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$. La probabilité est donc de $0,25$ ou $25\%$. Il est important de bien présenter cette simplification pour obtenir l'intégralité des points.
2. Le piège de la fréquence expérimentale
La question 2 est une question de réflexion sur la nature même des probabilités. Cécile réalise $20$ tirages avec remise et obtient $8$ boules vertes. L'élève pourrait être tenté d'utiliser ce ratio ($8/20$) pour calculer le nombre total de boules vertes dans le sac. C'est le piège principal !
En probabilités, les résultats d'une expérience répétée un petit nombre de fois (ici $n=20$) ne reflètent pas nécessairement la composition exacte de l'urne. C'est ce qu'on appelle la fluctuation d'échantillonnage. On ne peut donc pas conclure sur le nombre exact de boules vertes. La réponse correcte est la c. On ne peut pas savoir. Pour qu'une fréquence se rapproche de la probabilité théorique, il faudrait que l'expérience soit répétée des milliers de fois (Loi des Grands Nombres).
3. Calcul de quantités et probabilités complémentaires
Dans la dernière partie, on nous donne une probabilité théorique : $P(\text{Rouge}) = 0,4$.
a) Nombre de boules rouges : Pour trouver le nombre d'objets à partir d'une probabilité, on multiplie l'effectif total par la probabilité. Ici : $120 \times 0,4 = 48$. Il y a donc exactement $48$ boules rouges dans le sac.
b) Probabilité des boules vertes : On sait qu'il n'y a que trois couleurs : bleu, rouge et vert. La somme des probabilités de toutes les issues possibles est toujours égale à $1$. On peut donc poser l'équation : $P(\text{Bleue}) + P(\text{Rouge}) + P(\text{Verte}) = 1$.
En remplaçant par les valeurs connues : $0,25 + 0,4 + P(\text{Verte}) = 1$, soit $0,65 + P(\text{Verte}) = 1$. On en déduit que $P(\text{Verte}) = 1 - 0,65 = 0,35$.
Les Pièges à Éviter
- La confusion entre tirage avec et sans remise : Ici, l'énoncé précise qu'on repose la boule. Les probabilités restent donc constantes à chaque tirage.
- Oublier la simplification : Si l'énoncé demande une fraction irréductible et que vous laissez $30/120$, vous perdrez des points de rigueur.
- Se laisser influencer par les expériences de Cécile : Ne mélangez jamais les résultats d'une petite série de lancers avec la réalité mathématique fixe d'un sac.
Conseils de Rédaction pour l'Examen
Pour maximiser vos points au Brevet, soyez rigoureux dans votre présentation. Commencez par citer la formule générale de la probabilité avant d'injecter les chiffres. Utilisez des phrases de conclusion claires. Pour la question 3b, montrez bien que vous avez compris que la somme des probabilités est égale à $1$ ; c'est une propriété fondamentale du cours de 3ème très appréciée des correcteurs. Enfin, vérifiez toujours la cohérence de vos résultats : une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$. Si vous trouvez $1,2$ ou $-0,5$, c'est que vous avez fait une erreur de calcul !