Introduction aux Probabilités du Brevet 2023
Les probabilités constituent un pilier fondamental du programme de mathématiques en classe de troisième. Cet exercice, issu du sujet officiel du Brevet 2023 pour la zone Polynésie (Exercice 3), propose une mise en situation concrète à travers deux jeux de hasard distincts : un tirage de boules dans une urne et la rotation d'une roue de loterie. L'objectif est de mobiliser les notions d'équiprobabilité, de dénombrement et d'événements indépendants (expériences à deux épreuves).
Analyse Méthodique de la Partie A : Jeux Individuels
Dans la première partie, nous traitons deux expériences aléatoires simples de manière isolée.
Question 1 : L'urne et les lettres
L'énoncé précise que les boules sont « indiscernables au toucher ». En mathématiques, cette mention est cruciale : elle justifie l'utilisation de l'équiprobabilité. Chaque boule a la même chance d'être tirée. Pour calculer la probabilité de gagner (tirer la lettre G), on utilise la formule de Laplace : $P(\text{G}) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues totales}}$. Ici, l'urne contient 5 boules au total ($1N + 2G + 2P$). Il y a 2 boules portant la lettre G. La probabilité est donc bien de $\frac{2}{5}$, ce qui correspond à 0,4 ou 40 % de chances de gain.
Question 2 : La roue et les nombres premiers
Ici, la roue est divisée en 6 secteurs identiques, numérotés de 1 à 6. On gagne si le curseur s'arrête sur un nombre premier. C'est ici que réside le premier piège classique du Brevet. Rappelons la définition : un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Attention : 1 n'est pas un nombre premier ! La liste des nombres premiers entre 1 et 6 est donc : {2 ; 3 ; 5}. Il y a 3 issues favorables sur un total de 6. La probabilité est $P(\text{Premier}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, soit 50 %.
Question 3 : Comparaison et modification de l'expérience
Pour comparer les probabilités, il est conseillé de passer par l'écriture décimale ou de réduire au même dénominateur. Pour le Jeu 1, $\frac{2}{5} = 0,4$. Pour le Jeu 2, $\frac{1}{2} = 0,5$. Puisque $0,4 < 0,5$, c'est le Jeu 1 qui présente la plus faible probabilité de gagner.
Dans la sous-question 3b, on cherche à modifier la composition de l'urne pour que $P(G) = \frac{1}{4}$. Actuellement, nous avons 2 boules G. Si nous voulons que ces 2 boules représentent un quart du total, il faut que le nombre total de boules soit $2 \times 4 = 8$. L'urne actuelle contient 5 boules. Il faut donc rajouter $8 - 5 = 3$ boules. Ces boules ne doivent pas être des G pour ne pas modifier le numérateur. On peut proposer de rajouter 3 boules de type N ou P.
Analyse Méthodique de la Partie B : Expérience à deux épreuves
La Partie B demande de combiner les deux jeux. On tire d'abord une boule, puis on tourne la roue. On gagne si et seulement si on obtient 'G' ET un 'Nombre Premier'. Il s'agit d'une expérience aléatoire composée d'événements indépendants. La probabilité de l'événement final est le produit des probabilités de chaque étape.
Le raisonnement est le suivant : $P(\text{Gain total}) = P(\text{G}) \times P(\text{Premier})$. En remplaçant par les valeurs trouvées précédemment : $P(\text{Gain total}) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Le candidat peut aussi justifier ce résultat par un arbre pondéré ou un tableau à double entrée pour visualiser les 30 issues possibles ($5 \times 6$), dont seulement 6 sont gagnantes ($2 \text{ boules G} \times 3 \text{ numéros premiers}$).
Les Pièges à Éviter
- L'erreur sur le 1 : Beaucoup d'élèves considèrent 1 comme premier. Cela fausse tout le calcul du Jeu 2 et de la Partie B.
- La confusion dans les calculs de fractions : Lors de la multiplication en Partie B, rappelez-vous qu'on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
- Oubli de justification : Au Brevet, citer la formule ou expliquer le dénombrement est indispensable pour obtenir la totalité des points.
Conseils de Rédaction pour le Brevet
Pour une copie parfaite, commencez toujours par définir l'univers. Exemple : « Il y a 5 boules au total dans l'urne, le tirage est équiprobable. » Utilisez des notations claires comme $P(A)$. Pour la partie B, précisez que les événements sont indépendants pour justifier la multiplication. Enfin, donnez toujours vos résultats sous forme de fraction simplifiée, car c'est la forme la plus précise attendue par les correcteurs.