Introduction aux notions du Brevet 2015

Cet exercice, issu du sujet du Brevet de Nouvelle-Calédonie 2015 (Exercice 1), se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiple (QCM). Ce format est très fréquent à l'examen car il permet de tester un large spectre de compétences mathématiques en un temps réduit. Dans cet exercice, nous allons aborder cinq domaines fondamentaux du programme de 3ème : la proportionnalité (ou plutôt ses limites), la géométrie plane avec le périmètre du rectangle, le calcul de probabilités élémentaires, la géométrie dans l'espace via le volume d'une boule, et enfin la résolution d'équations produit nul.

Analyse Méthodique du QCM

L'avantage majeur d'un QCM est que la réponse exacte figure parmi les propositions. Cependant, pour éviter les erreurs d'inattention, un raisonnement rigoureux est indispensable pour chaque question.

Question 1 : La croissance humaine et la linéarité

La première question est un classique qui teste votre bon sens et votre compréhension de la proportionnalité. Marc a 10 ans et pèse 30 kg. On demande son poids à 20 ans. Beaucoup d'élèves font l'erreur de doubler le poids sous prétexte que l'âge a doublé (10 × 2 = 20 donc 30 × 2 = 60). Or, la croissance d'un être humain n'est pas une situation de proportionnalité. Il est impossible de prédire scientifiquement un poids exact à partir de l'âge sans données supplémentaires. La réponse correcte est donc la réponse C : « On ne peut pas savoir ».

Question 2 : Géométrie plane - Retrouver une dimension

On nous donne un rectangle de longueur $L = 8$ cm et de périmètre $P = 24$ cm. Rappelons la formule du périmètre d'un rectangle : $P = 2 \times (L + l)$, où $l$ est la largeur. Pour trouver la largeur, nous pouvons diviser le périmètre par 2 pour obtenir le demi-périmètre : $24 / 2 = 12$ cm. Le demi-périmètre correspond à la somme $L + l$. Ainsi, $12 = 8 + l$. Par une simple soustraction, on trouve $l = 12 - 8 = 4$ cm. La réponse exacte est la B.

Question 3 : Calcul de probabilités

Cette question porte sur l'équiprobabilité. Il y a 3 réponses proposées (A, B et C) et une seule est exacte. Si l'on répond au hasard, on est dans une situation où chaque issue a la même probabilité de se réaliser. La formule de la probabilité est : $P = \text{Nombre d'issues favorables} / \text{Nombre d'issues totales}$. Ici, $P = 1 / 3$. C'est la réponse A. Conseil : Ne confondez pas le nombre de choix possibles avec la certitude d'avoir raison !

Question 4 : Géométrie dans l'espace - Volume d'une boule

Il faut connaître par cœur la formule du volume d'une boule de rayon $r$ : $V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3$. Ici, le rayon est $r = 3$ cm. Le calcul est donc : $V = \frac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 27$. En simplifiant $27$ par $3$, on obtient $V = 4 \times \pi \times 9 = 36\pi$. En prenant une valeur approchée de $\pi \approx 3,14$, on obtient $V \approx 113,09$ cm$^3$. En arrondissant à l'unité, on trouve 113 cm$^3$. Attention aux unités : la réponse C (cm$^2$) correspond à une aire, et la B (m$^3$) est incohérente avec les données en cm. La réponse est donc la A.

Question 5 : Équation produit nul

L'équation proposée est $(x + 1)(5x - 10) = 0$. Il s'agit d'une équation produit nul. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. On résout donc deux équations séparées : d'une part $x + 1 = 0$, ce qui donne $x = -1$. D'autre part $5x - 10 = 0$, ce qui donne $5x = 10$, soit $x = 10 / 5 = 2$. Les solutions sont donc $-1$ et $2$. Cela correspond à la réponse C.

Les pièges à éviter lors de l'épreuve

Le premier piège dans un QCM de mathématiques est la précipitation. Par exemple, pour la question sur le volume, une erreur d'unité peut vous faire choisir la mauvaise réponse même si votre calcul est correct. Notez bien que le volume s'exprime en cubes ($cm^3$). Pour l'équation, attention aux signes ! Une erreur fréquente est d'inverser les signes et de proposer $1$ et $-2$. Enfin, pour la probabilité, ne vous laissez pas déstabiliser par l'énoncé réflexif : la règle reste la même, c'est un calcul d'issues.

Conseil de rédaction pour le Brevet

Bien que l'énoncé précise qu'il n'est pas nécessaire de justifier, il est recommandé sur votre brouillon de poser les calculs comme nous venons de le faire. Sur votre copie, respectez scrupuleusement la consigne : indiquez le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie de manière claire (ex: Question 1 : Réponse C). Une présentation propre est toujours appréciée par le correcteur.