Introduction : L'Algorithmique au Cœur du Brevet

L'exercice 3 du sujet du Brevet 2017 de Pondichéry est un classique incontournable pour tout élève de 3ème. Il combine trois piliers du programme de mathématiques : l'algorithmique (souvent représentée via le logiciel Scratch), les programmes de calculs et la résolution d'équations. Cet exercice demande de passer d'un langage visuel ou textuel à une modélisation algébrique rigoureuse. Comprendre comment une variable évolue à travers différentes étapes est une compétence clé, non seulement pour l'épreuve de mathématiques, mais aussi pour l'initiation à la programmation au lycée.

Analyse de la Question 1 : Vérification Arithmétique

La première étape consiste à tester l'algorithme avec une valeur numérique simple. Julie choisit le nombre \(5\). Selon le script fourni, le programme effectue une suite d'opérations sur la variable initiale \(x\).
Pour \(x = 5\) :
1. Étape 1 : On ajoute 2 au nombre choisi. On obtient \(5 + 2 = 7\).
2. Étape 2 : On multiplie le résultat précédent par 3. On obtient \(7 \times 3 = 21\).
3. Résultat : On soustrait 1 à l'étape 2. On obtient \(21 - 1 = 20\).
Julie a donc raison : le programme renvoie bien 20. Pour la question 1.b, en choisissant \(7\), le raisonnement reste identique : \(7 + 2 = 9\), puis \(9 \times 3 = 27\), et enfin \(27 - 1 = 26\). Le programme dira donc 26.

Analyse de la Question 2 : Remonter le Programme

Ici, on connaît le résultat final (\(8\)) et on cherche le nombre de départ. Deux méthodes s'offrent à toi. La méthode inverse consiste à défaire les opérations une à une en partant de la fin : au lieu de soustraire 1, on ajoute 1 (\(8 + 1 = 9\)) ; au lieu de multiplier par 3, on divise par 3 (\(9 / 3 = 3\)) ; au lieu d'ajouter 2, on soustrait 2 (\(3 - 2 = 1\)). Le nombre choisi était donc 1. La seconde méthode consiste à poser une équation simple, ce qui prépare idéalement à la question suivante.

Analyse de la Question 3 : Modélisation Algébrique

C'est ici que l'exercice bascule dans le calcul littéral. Si l'on appelle \(x\) le nombre de départ :
- Étape 1 devient \(x + 2\).
- Étape 2 devient \(3(x + 2)\).
- Le Résultat final est \(3(x + 2) - 1\).
Pour réduire cette expression, il faut utiliser la distributivité. On développe : \(3 \times x + 3 \times 2 - 1\), ce qui donne \(3x + 6 - 1\), soit finalement \(3x + 5\). Cette expression simplifiée est l'outil indispensable pour résoudre la dernière question de l'exercice.

Analyse de la Question 4 : Comparaison de deux Programmes

Maxime utilise un autre programme : « Choisir un nombre, lui ajouter 2, multiplier le résultat par 5 ». En langage algébrique, pour un nombre \(x\), le programme de Maxime se traduit par \(5(x + 2)\), soit \(5x + 10\).
La question est de savoir s'il existe un nombre \(x\) tel que le résultat de Julie (\(3x + 5\)) soit égal à celui de Maxime (\(5x + 10\)).
On pose l'équation : \(3x + 5 = 5x + 10\).
Pour la résoudre, on regroupe les termes en \(x\) d'un côté : \(5 - 10 = 5x - 3x\), ce qui donne \(-5 = 2x\). On en déduit \(x = -5 / 2 = -2,5\).
Il existe donc un nombre unique, \(-2,5\), pour lequel les deux programmes donnent le même résultat.

Les Pièges à Éviter

L'erreur la plus fréquente concerne les parenthèses lors du passage de l'étape 1 à l'étape 2. Beaucoup d'élèves écrivent \(x + 2 \times 3\) au lieu de \((x + 2) \times 3\). N'oublie pas que multiplier « le résultat » signifie que l'opération s'applique à toute l'expression précédente. Un autre piège réside dans la résolution de l'équation finale : fais bien attention aux signes lors du déplacement des termes d'un côté à l'autre de l'égalité.

Conseil de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points, structure ta copie :
1. Annonce clairement tes étapes (ex: "Soit x le nombre de départ...").
2. Détaille tes calculs intermédiaires, même s'ils te semblent simples.
3. Pour la question sur Scratch, cite explicitement les noms des variables (Étape 1, Étape 2) pour montrer au correcteur que tu as compris la logique informatique. Une phrase de conclusion pour chaque question est indispensable pour valider la compétence "Communiquer".

Pourquoi cet exercice est crucial ?

Le thème Algorithmique et programmation représente environ 10% des points du Brevet. Maîtriser ce type d'exercice sur les programmes de calcul garantit des points faciles. De plus, la capacité à transformer un énoncé en équation est la base des mathématiques de Seconde. En t'entraînant sur ce sujet de Pondichéry 2017, tu renforces ta compréhension des fonctions affines, puisque chaque programme de calcul n'est au fond rien d'autre qu'une fonction de la forme \(f(x) = ax + b\).