Introduction aux notions de Géométrie et de Grandeurs
L'exercice 7 du sujet du Brevet 2016 pour les centres étrangers est un classique incontournable qui mobilise deux piliers majeurs du programme de mathématiques de troisième : la géométrie dans l'espace (spécifiquement le volume du cylindre) et la proportionnalité liée aux conversions d'unités de mesure. À travers l'exemple concret d'un macaron, les élèves sont invités à manipuler des formules de volume et à effectuer des passages complexes entre unités de capacité (litres) et unités de volume (millimètres cubes). Maîtriser ces compétences est essentiel car elles représentent une part significative des points lors de l'épreuve finale du Diplôme National du Brevet (DNB).
Analyse Méthodique de l'Exercice
1. Vérification du volume de crème
La première question demande de vérifier que le volume de crème est de $2000\pi$~mm$^3$. Pour réussir cette étape, il faut d'abord identifier la forme géométrique de la couche de crème : un cylindre de révolution. La formule du volume d'un cylindre est donnée par : $V = \text{Aire de la base} \times \text{hauteur}$, soit $V = \pi \times r^2 \times h$. En observant les données de l'énoncé, nous avons le rayon $r = 20$~mm et la hauteur $h = 5$~mm. Le calcul devient alors : $V = \pi \times 20^2 \times 5$. On sait que $20^2 = 400$, donc $V = \pi \times 400 \times 5 = 2000\pi$. Il est crucial de noter que l'énoncé demande une valeur exacte exprimée en fonction de $\pi$. L'unité est bien le mm$^3$ puisque toutes les dimensions initiales étaient en mm.
2. Détermination du nombre de macarons réalisables
Cette seconde partie est la plus technique car elle nécessite une double conversion. Alexis dispose de 30~cL de crème. L'objectif est de diviser ce volume total par le volume d'un seul macaron pour trouver le nombre de biscuits réalisables. Cependant, on ne peut pas diviser des cL par des mm$^3$ directement.
Étape A : Convertir 30~cL en litres. On sait que $30~\text{cL} = 0,3~\text{L}$.
Étape B : Utiliser l'équivalence donnée : $1~\text{L} = 1~\text{dm}^3$. Donc, Alexis a $0,3~\text{dm}^3$ de crème.
Étape C : Convertir les dm$^3$ en mm$^3$. Dans le tableau des volumes, il y a trois colonnes par unité. Pour passer de dm$^3$ à cm$^3$, on multiplie par 1 000, et de cm$^3$ à mm$^3$, encore par 1 000. Ainsi, $1~\text{dm}^3 = 1\,000\,000~\text{mm}^3$. Par conséquent, $0,3~\text{dm}^3 = 300\,000~\text{mm}^3$.
Étape D : Calcul final. On divise le volume total par le volume d'un macaron : $300\,000 / (2000\pi)$. En prenant une valeur approchée de $\pi \approx 3,14$, le volume d'un macaron est d'environ $6\,283$~mm$^3$. Le calcul donne environ $47,7$. Alexis peut donc confectionner 47 macarons complets.
Les Pièges à Éviter
Le piège principal réside dans la confusion entre le rayon et le diamètre. Ici, l'énoncé donne le rayon, mais dans d'autres sujets, on donne souvent le diamètre pour tester votre vigilance. Si tel avait été le cas, il aurait fallu diviser par deux avant d'appliquer la formule.
Un autre point de vigilance concerne la conversion des unités de volume au cube. Beaucoup d'élèves oublient que dans un tableau de conversion de volumes ($m^3, dm^3, cm^3$), chaque unité comporte 3 colonnes. Passer de $dm^3$ à $mm^3$ revient à décaler la virgule de 6 rangs vers la droite, et non de 2 ! Enfin, n'oubliez pas d'utiliser la touche $\pi$ de votre calculatrice pour une précision maximale avant d'arrondir le résultat final.
Conseils de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points, votre copie doit être structurée. Commencez toujours par citer la formule littérale utilisée (ex: $V = \pi r^2 h$). Effectuez ensuite l'application numérique de manière isolée. Pour la question sur les conversions, écrivez explicitement les étapes de transformation (ex: "On sait que 30 cL = 0,3 L = 0,3 dm³"). Lorsque vous arrivez au résultat final pour le nombre de macarons, n'oubliez pas que c'est un nombre entier : on ne peut pas faire 47,7 macarons, donc on arrondit à l'unité inférieure. Concluez par une phrase réponse claire et soulignée.
Importance de la Proportionnalité et des Volumes
La maîtrise des volumes et de la proportionnalité est fondamentale non seulement pour le brevet, mais aussi pour la vie quotidienne et les métiers techniques (cuisine, architecture, ingénierie). Ce type d'exercice teste votre capacité à lier des concepts abstraits à des situations réelles. En mathématiques, la rigueur dans le changement d'unité est le garant de la réussite. Entraînez-vous à refaire ce calcul avec différentes quantités de crème ou des rayons différents pour automatiser le processus.