Introduction à la Trigonométrie du Brevet
L'exercice 2 du sujet de mathématiques du Brevet Nouvelle-Calédonie 2015 est un cas d'école concernant l'application des relations trigonométriques dans un contexte concret : l'accessibilité des bâtiments publics. Ce problème met en scène un vendeur souhaitant installer une rampe d'accès PMR (Personnes à Mobilité Réduite). La trigonométrie, souvent redoutée par les élèves de 3ème, devient ici un outil de calcul d'ingénierie simple et efficace. Ce chapitre est fondamental car il lie la géométrie du triangle rectangle à la mesure des angles, une notion qui sera omniprésente au lycée. Maîtriser le cosinus, le sinus et la tangente permet de résoudre n'importe quelle configuration de triangle rectangle dès lors que l'on possède deux informations (deux côtés, ou un angle et un côté).
Analyse Méthodique de l'Énoncé
Pour réussir cet exercice, il faut d'abord extraire les données mathématiques cachées dans le texte et le schéma. Nous sommes en présence d'un triangle $ABC$ rectangle en $B$. Cette précision est cruciale : sans triangle rectangle, les formules de trigonométrie classique (SOH CAH TOA) ne s'appliquent pas. L'énoncé nous donne deux valeurs clés : la mesure de l'angle $\widehat{CAB} = 3^{\circ}$ et la longueur du côté opposé à cet angle, soit $BC = 30$ cm. L'objectif est de trouver la longueur $AB$, qui représente ici le côté adjacent à l'angle donné.
Le raisonnement doit suivre cette logique : 1. Quel angle connais-je ? (L'angle $\widehat{A}$). 2. Quel côté est donné par rapport à cet angle ? (Le côté opposé $BC$). 3. Quel côté est recherché ? (Le côté adjacent $AB$). Dans le célèbre moyen mnémotechnique TOA (Tangente = Opposé / Adjacent), nous voyons que la tangente est la fonction idéale ici. La relation s'écrit donc : $\tan(\widehat{CAB}) = \frac{BC}{AB}$. En remplaçant par les valeurs, on obtient $\tan(3^{\circ}) = \frac{30}{AB}$. Pour isoler $AB$, on effectue un produit en croix ou une manipulation algébrique simple : $AB = \frac{30}{\tan(3^{\circ})}$. À l'aide d'une calculatrice en mode 'Degrés', on trouve que $AB \approx 572,43$ cm.
Les Pièges à Éviter
Le premier piège, et le plus fréquent au Brevet, est le réglage de la calculatrice. Si votre calculatrice est en mode 'Radians' ou 'Grades', le résultat sera totalement erroné. Vérifiez toujours la présence du petit 'D' ou 'DEG' sur votre écran. Le deuxième piège concerne l'arrondi. L'énoncé demande un arrondi au centimètre près. Ne donnez pas trop de chiffres après la virgule, mais ne tronquez pas non plus trop tôt. Ici, $572,43$ s'arrondit à $572$ cm. Enfin, faites attention aux unités. Si $BC$ est en cm, $AB$ sera en cm. Si l'on vous demandait le résultat en mètres, il faudrait convertir à la fin pour obtenir $5,72$ m.
Conseils de Rédaction pour le Jour J
Pour obtenir le maximum de points, la rédaction doit être rigoureuse. Commencez par citer la propriété : 'Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$'. C'est la condition sine qua non pour utiliser la trigonométrie. Ensuite, écrivez la formule littérale avec les noms des segments avant d'injecter les chiffres. Cela prouve au correcteur que vous avez compris la logique et non simplement appliqué une recette. Présentez le calcul final de manière claire et terminez par une phrase de conclusion qui répond à la question posée : 'La rampe doit commencer à environ $572$ cm du mur pour respecter la pente de $3^{\circ}$.' Une copie propre et bien structurée est la clé pour valider les compétences de communication du socle commun.