Introduction : Un condensé de géométrie du Brevet

L'exercice 5 du sujet de mathématiques du Brevet des Collèges (Métropole 2022) est une synthèse remarquable des notions de géométrie plane et d'espace au programme de 3ème. Il s'articule autour de quatre axes majeurs : la Trigonométrie pour le calcul d'angles, le théorème de Pythagore pour les distances, le théorème de Thalès pour les configurations de proportionnalité, et enfin le calcul de Volumes. Ce type d'exercice 'concret' (ou tâche complexe) demande non seulement de connaître ses formules, mais surtout de savoir extraire les bonnes données d'un schéma complexe comprenant plusieurs documents.

Analyse de la Question 1 : Addition de segments

La première question demande de vérifier la longueur $BC = 20$ m. Pour réussir, l'élève doit sommer les longueurs horizontales projetées au sol. On repère sur le schéma que $BC$ est composé de la distance du chêne à la piscine ($12,20$ m), de la longueur de la piscine ($6$ m) et de la distance de la piscine au peuplier ($1,80$ m). Le calcul est simple : $12,20 + 6 + 1,80 = 20$. Astuce : Toujours citer l'unité dans la conclusion.

Analyse de la Question 2 : La Trigonométrie et la réglementation

Ici, on cherche à vérifier si l'angle $\widehat{BCA}$ est inférieur à $30$ degrés. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, nous connaissons le côté opposé ($AB = 5,50$ m) et le côté adjacent ($BC = 20$ m). La formule de la tangente est donc l'outil idéal : $\tan(\widehat{BCA}) = \frac{AB}{BC} = \frac{5,5}{20} = 0,275$. En utilisant la touche $\arctan$ (ou $\tan^{-1}$) de la calculatrice, on obtient environ $15,37^\circ$. Puisque $15,37 < 30$, le positionnement est conforme. Attention : Veille à ce que ta calculatrice soit bien réglée en mode 'Degrés'.

Analyse de la Question 3 : Calcul de la longueur du câble avec Pythagore

La tyrolienne est représentée par l'hypoténuse $AC$ du triangle rectangle $ABC$. Pour calculer sa longueur, on applique le théorème de Pythagore : $AC^2 = AB^2 + BC^2$. En remplaçant par les valeurs : $AC^2 = 5,5^2 + 20^2 = 30,25 + 400 = 430,25$. On extrait la racine carrée : $AC = \sqrt{430,25} \approx 20,74$ m. L'énoncé demande un arrondi à l'unité, donc $AC \approx 21$ m. Conseil : Ne jamais oublier d'écrire la phrase d'introduction : 'Dans le triangle ABC rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore...'

Analyse de la Question 4 : Thalès et la position de Lya

Cette question est souvent la plus délicate. On imagine Lya suspendue, formant un segment $[DE]$ de $1,50$ m vertical. Comme les deux arbres sont verticaux, le segment $[DE]$ est parallèle au segment $[AB]$. Nous sommes dans une configuration de Thalès (triangles emboîtés $DCE$ et $BCA$). On a l'égalité de rapports : $\frac{DC}{BC} = \frac{DE}{AB}$. On cherche $DC$, donc : $\frac{DC}{20} = \frac{1,5}{5,5}$. Par produit en croix : $DC = \frac{20 \times 1,5}{5,5} \approx 5,45$ m. Lya touchera l'eau à $5,45$ mètres du peuplier. Cela signifie qu'elle est bien au-dessus de la piscine (dont la longueur est de $6$ m).

Analyse de la Question 5 : Calcul de Volume

La question finale revient sur la géométrie dans l'espace. La piscine est un parallélépipède rectangle (pavé droit). La formule est $V = L \times l \times h$. Avec les dimensions du document 3 : $V = 6 \times 6 \times 1,60 = 57,6$ m$^3$. C'est une question de 'confort' pour grapiller des points, mais attention à ne pas se tromper dans la multiplication simple.

Les pièges à éviter

1. L'oubli des unités : Au Brevet, un résultat sans unité (m, m², m³) est souvent sanctionné de points en moins.
2. Les arrondis : L'énoncé est précis (arrondi à l'unité pour AC, au centième pour DC). Ne pas respecter l'arrondi, c'est perdre 0,5 point bêtement.
3. La rédaction : Citer systématiquement le nom des théorèmes utilisés. Le correcteur cherche à voir si tu as compris quel outil mathématique est pertinent.

Conseils de rédaction pour l'examen

Pour maximiser ta note, structure tes réponses. Commence par 'On sait que...', continue avec 'D'après le théorème de...', effectue ton calcul, puis termine par une phrase de conclusion. Par exemple, pour la question 2, précise bien que l'angle est inférieur à la limite réglementaire pour répondre explicitement à la question posée : 'Le positionnement est donc conforme'. Un schéma annoté au brouillon peut aussi t'aider à visualiser les triangles rectangles imbriqués avant de passer au propre.