Introduction aux Probabilités au Brevet
Le chapitre des probabilités est un incontournable du Brevet de mathématiques. Dans cet exercice issu de la session 2014 en Polynésie, nous abordons deux notions fondamentales du programme de 3ème : la distinction entre fréquence observée et probabilité théorique, et le calcul d'effectifs à partir de probabilités données. Ces concepts sont essentiels pour comprendre comment le hasard est modélisé mathématiquement. L'exercice se divise en deux parties distinctes qui testent votre capacité à interpréter des données statistiques et à manipuler des fractions dans un contexte aléatoire.
Analyse Méthodique de la Question 1 : Fréquence vs Probabilité
La première question nous présente une expérience aléatoire : le tirage d'une bille dans une bouteille opaque. Les élèves effectuent 40 tirages (avec remise, car la bille ne sort pas) et notent les couleurs obtenues : 18 rouges, 8 bleues et 14 vertes. La question posée est cruciale : peut-on affirmer avec certitude la composition de la bouteille ?
Ici, il faut mobiliser la notion de fluctuation d'échantillonnage. Bien que la fréquence de sortie de la bille rouge soit de $\frac{18}{40} = \frac{9}{20}$, cela ne constitue pas une preuve absolue de la composition interne. Dans une expérience aléatoire, les résultats observés sur un petit nombre de tirages (ici 40) s'approchent de la probabilité théorique mais ne se confondent pas systématiquement avec elle. On ne peut donc pas « affirmer » la composition exacte de 9 billes rouges, 4 bleues et 7 vertes sur 20. C'est un piège classique où l'élève doit distinguer ce qui est probable de ce qui est certain.
Analyse Méthodique de la Question 2 : Calculer des Effectifs
La seconde partie change de paradigme. Nous connaissons le nombre total de billes (24) et les probabilités théoriques : $P(\text{verte}) = \frac{3}{8}$ et $P(\text{bleue}) = \frac{1}{2}$. L'objectif est de trouver le nombre de billes rouges. Le raisonnement doit être structuré en trois étapes :
- Calculer le nombre de billes vertes : On applique la fraction au total. $\frac{3}{8} \times 24 = \frac{3 \times 24}{8} = 3 \times 3 = 9$ billes vertes.
- Calculer le nombre de billes bleues : On applique la probabilité $\frac{1}{2}$ au total. $\frac{1}{2} \times 24 = 12$ billes bleues.
- Déduire le nombre de billes rouges : On sait que le total est de 24. On soustrait les vertes et les bleues. $24 - (9 + 12) = 24 - 21 = 3$.
Il y a donc exactement 3 billes rouges dans cette bouteille. Ce calcul utilise la propriété fondamentale que la somme des probabilités de tous les événements élémentaires est égale à 1.
Les Pièges à Éviter lors de l'Épreuve
L'erreur la plus fréquente dans cet exercice est de répondre "Oui" à la première question en simplifiant les fractions. Rappelez-vous : une expérience statistique ne donne qu'une estimation. Un autre piège réside dans le calcul des fractions de quantités. Ne confondez pas le dénominateur de la probabilité (ici 8) avec le nombre total de billes (24). Toujours multiplier la probabilité par l'effectif total pour obtenir le nombre d'éléments. Enfin, vérifiez toujours la cohérence de vos résultats : le nombre de billes doit être un entier positif et leur somme doit être égale au total annoncé dans l'énoncé.
Conseils de Rédaction pour Maximiser vos Points
Pour la question 1, une phrase explicative est nécessaire. Utilisez des mots-clés comme "expérience aléatoire", "échantillon" ou "fluctuation". Ne vous contentez pas d'un non catégorique. Pour la question 2, détaillez chaque étape du calcul. Présentez clairement les opérations : multiplication de la fraction par l'entier et soustraction finale. Une réponse claire et structurée permet au correcteur de suivre votre logique, même si vous faites une petite erreur de calcul à la fin. N'oubliez pas de conclure par une phrase réponse soulignée.