Introduction aux Probabilités du Brevet
Les probabilités constituent un pilier fondamental du programme de mathématiques en classe de 3ème. Cet exercice, issu du sujet du Brevet 2016 pour les centres étrangers (Exercice 6), illustre parfaitement l'application concrète des mathématiques à travers une situation quotidienne : le choix de macarons dans des boîtes. L'objectif ici est de tester la capacité de l'élève à dénombrer des issues et à calculer des probabilités simples et composées dans des situations d'équiprobabilité. Comprendre les probabilités, c'est avant tout apprendre à quantifier l'incertitude et à modéliser des expériences aléatoires de manière rigoureuse.
Analyse Méthodique de l'Exercice
1. Analyse de la première question : Le tirage simple
Dans la première question, on s'intéresse à la extbf{Boîte numéro 1}. Avant tout calcul, il est impératif d'identifier l'univers des possibles, c'est-à-dire le nombre total de macarons présents dans la boîte. Nous avons : 4 (chocolat) + 3 (café) + 2 (vanille) + 3 (caramel). Le calcul est simple : $4 + 3 + 2 + 3 = 12$. Il y a donc 12 issues possibles au total. L'énoncé précise que les macarons sont "indiscernables au toucher", ce qui garantit une situation d' extbf{équiprobabilité}. Chaque macaron a la même chance d'être choisi.
On cherche la probabilité d'obtenir un macaron au café. Le nombre de cas favorables est égal au nombre de macarons au café, soit 3. La formule fondamentale de la probabilité est : $P = rac{ ext{Nombre de cas favorables}}{ ext{Nombre de cas totaux}}$. Ici, $P( ext{café}) = rac{3}{12}$. Il est fortement conseillé de simplifier la fraction pour la rédaction finale : $ rac{3}{12} = rac{1}{4}$ ou 0,25 (soit 25%).
2. Analyse de la seconde question : Probabilités composées et modification de l'univers
Cette deuxième partie est plus subtile car elle fait intervenir deux changements majeurs : une modification du contenu des boîtes et une succession de deux événements. C'est ce qu'on appelle une expérience aléatoire à deux épreuves.
D'abord, mettons à jour les effectifs :
- extbf{Boîte 1} : 3 chocolat et 2 café (Total = 5 macarons).
- extbf{Boîte 2} : 2 chocolat et 1 fraise (Total = 3 macarons).
Carole n'aime pas le chocolat. Elle cherche donc les autres parfums.
Pour la extbf{Boîte 1}, les macarons qui lui plaisent sont les cafés. Il y en a 2 sur un total de 5. La probabilité qu'elle soit satisfaite au premier tirage est $P_1 = rac{2}{5}$.
Pour la extbf{Boîte 2}, le macaron qui lui plaît est celui à la fraise. Il y en a 1 sur un total de 3. La probabilité qu'elle soit satisfaite au second tirage est $P_2 = rac{1}{3}$.
Comme les deux tirages sont indépendants (le choix dans la boîte 1 n'influence pas le choix dans la boîte 2), la probabilité d'obtenir deux macarons qu'elle aime est le produit des probabilités individuelles : $P_{ ext{total}} = P_1 imes P_2 = rac{2}{5} imes rac{1}{3} = rac{2}{15}$.
Les Pièges à Éviter
Le piège classique dans ce type d'exercice réside dans la mauvaise lecture de l'énoncé, notamment sur les extbf{changements d'effectifs}. Entre la question 1 et la question 2, le nombre de macarons change. Si tu conserves le total de 12 macarons de la première question, tout ton raisonnement pour la suite sera faussé. Prends toujours le temps de recalculer l'effectif total dès qu'une action (manger un macaron, retirer un objet) est mentionnée.
Un autre piège concerne la définition de l'événement favorable pour Carole. L'énoncé dit : "Carole n'aime pas le chocolat". Cela signifie que tu dois compter TOUT ce qui n'est pas chocolat. Ne te limite pas à un seul parfum si plusieurs lui plaisent.
Conseils de Rédaction pour le Jour J
Pour obtenir le maximum de points au Brevet, la clarté est ta meilleure alliée. Voici comment structurer tes réponses :
1. extbf{Énonce clairement l'expérience} : "On tire au hasard un macaron, il y a équiprobabilité car ils sont indiscernables au toucher."
2. extbf{Détaille le calcul de l'effectif total} : Ne donne pas juste "12", montre l'addition $4+3+2+3=12$.
3. extbf{Utilise la notation mathématique} : $P(A) = rac{ ext{cas favorables}}{ ext{cas possibles}}$.
4. extbf{Simplifie tes fractions} : Une réponse sous forme de fraction irréductible ($ rac{1}{4}$) ou d'écriture décimale (0,25) est toujours préférée par les correcteurs. Pour la question 2, la fraction $ rac{2}{15}$ ne peut pas être simplifiée, laisse-la telle quelle.