Introduction à la Trigonométrie au Brevet des Collèges
La trigonométrie est l'un des piliers fondamentaux du programme de mathématiques en classe de troisième. Souvent redoutée par les élèves, elle constitue pourtant une réserve de points quasi systématique lors de l'épreuve du Diplôme National du Brevet (DNB). Cet exercice issu de la session 2017 en Nouvelle-Calédonie illustre parfaitement comment la géométrie plane s'invite dans des contextes concrets et ludiques, ici l'univers de Lucky Luke. Maîtriser les relations dans le triangle rectangle est essentiel pour quiconque souhaite obtenir une mention. Nous allons décomposer ensemble les étapes pour calculer un angle à l'aide de la tangente, une compétence clé attendue par les correcteurs.
Analyse Méthodique de l'Énoncé : Lucky Luke et Averell Dalton
L'exercice nous place dans une situation géométrique modélisée par un triangle. Pour réussir, la première étape est de traduire l'énoncé textuel en données mathématiques exploitables. Nous savons que Lucky Luke (le point P) tire vers le chapeau d'Averell (le point C). L'énoncé précise que les deux personnages se tiennent perpendiculairement au sol, ce qui garantit l'existence d'angles droits. Le triangle $PAC$ est explicitement déclaré rectangle en $A$.
Listons les longueurs connues : la distance horizontale entre le pistolet et Averell est $PA = 6$ m. C'est notre côté adjacent à l'angle recherché $\widehat{APC}$. La difficulté principale réside dans le calcul de la longueur $AC$. Averell mesure $2,13$ m ($7$ pieds), mais le pistolet est situé à une hauteur $PS = 1$ m du sol. Puisque le segment $[PA]$ est horizontal, le point $A$ se trouve à la même hauteur que le pistolet. Ainsi, la distance verticale entre le niveau du pistolet et le chapeau est $AC = 2,13 - 1 = 1,13$ m. Ce segment $AC$ représente le côté opposé à l'angle $\widehat{APC}$.
Le Raisonnement Trigonométrique : Choisir la bonne formule
Dans un triangle rectangle, nous disposons de trois outils principaux : le Sinus, le Cosinus et la Tangente, souvent mémorisés par l'acronyme SOH CAH TOA. Pour déterminer lequel utiliser, il faut observer les données dont nous disposons par rapport à l'angle cible $\widehat{APC}$ :
1. Nous connaissons le côté opposé : $AC = 1,13$ m.
2. Nous connaissons le côté adjacent : $PA = 6$ m.
3. Nous ne connaissons pas l'hypoténuse $PC$ (et son calcul par Pythagore n'est pas nécessaire ici).
La formule liant le côté opposé et le côté adjacent est la Tangente (TOA : Tangente = Opposé / Adjacent). On écrit donc : $\tan(\widehat{APC}) = \frac{AC}{PA}$. En remplaçant par les valeurs numériques, on obtient $\tan(\widehat{APC}) = \frac{1,13}{6}$. Pour trouver la mesure de l'angle, il faut utiliser la fonction inverse sur la calculatrice (touche $arctan$ ou $tan^{-1}$). Le calcul donne environ $10,66$ degrés.
Les Pièges Classiques à Éviter
De nombreux élèves perdent des points sur des détails évitables. Le premier piège est la confusion des côtés : ne confondez jamais l'hypoténuse (le côté le plus long face à l'angle droit) avec le côté adjacent. Le deuxième piège est lié à la hauteur : ne pas soustraire la hauteur du pistolet ($1$ m) de la taille d'Averell mènerait à un résultat faux.
Un autre point critique est le réglage de la calculatrice. Assurez-vous qu'elle soit en mode 'Degré' (DEG) et non en 'Radian' (RAD) ou 'Grade' (GRA). Enfin, l'énoncé demande un arrondi 'au degré près'. Si votre résultat est $10,66$, l'arrondi correct à l'unité supérieure est $11$ car la première décimale est supérieure ou égale à $5$.
Conseils de Rédaction pour Maximiser vos Points
Pour satisfaire un correcteur du Brevet, la rédaction doit être rigoureuse. Commencez toujours par préciser que vous travaillez dans un triangle rectangle : 'Dans le triangle PAC rectangle en A...'. Citez ensuite la formule littérale avant de passer aux chiffres. N'oubliez pas l'unité (le symbole degré) dans votre conclusion. Une réponse bien présentée est le signe d'un élève qui maîtrise son sujet et facilite le travail du correcteur, ce qui est toujours valorisé lors des commissions d'harmonisation des notes.