Introduction aux équations du premier degré
L'exercice 2 du sujet de mathématiques du Brevet 2013 pour la zone Nouvelle-Calédonie est un classique absolu du programme de troisième. Il porte sur la mise en équation d'un problème concret, ici une collecte de coquillages. Cette compétence est fondamentale car elle marque le passage de l'arithmétique (calculer avec des nombres) à l'algèbre (calculer avec des variables). Le thème des équations représente souvent une part importante des points lors de l'épreuve finale, car il permet d'évaluer la capacité d'un élève à modéliser une situation réelle par un outil mathématique. Dans cet exercice, nous allons apprendre à transformer des phrases en français en une égalité mathématique exploitable.
Analyse Méthodique du problème
Pour résoudre ce type d'exercice, il faut procéder avec méthode. Décomposons l'énoncé : nous avons deux types de coquillages (les grands et les petits) et deux contraintes numériques (le nombre total de coquillages et la longueur totale).
1. Le choix de l'inconnue
C'est l'étape la plus cruciale. On te demande le nombre de grands et de petits coquillages. Appelons $x$ le nombre de grands coquillages. Puisqu'il y a 20 coquillages au total, le nombre de petits coquillages est forcément de $20 - x$. En définissant ainsi tes inconnues, tu réduis le problème à une seule variable, ce qui facilite grandement la résolution pour un niveau 3ème.
2. La mise en équation
L'énoncé indique que les grands mesurent 2 cm et les petits 1 cm. La longueur totale est de 32 cm. On traduit cela par l'équation suivante :
$(2 \times \text{nombre de grands}) + (1 \times \text{nombre de petits}) = 32$
En remplaçant par nos variables, on obtient : $2x + 1(20 - x) = 32$.
3. La résolution de l'équation
Développons et simplifions l'expression :
$2x + 20 - x = 32$
$x + 20 = 32$
$x = 32 - 20$
$x = 12$
Nous avons donc trouvé qu'il y a 12 grands coquillages. Pour trouver les petits, il suffit de faire $20 - 12 = 8$.
4. La vérification
Une étape indispensable au Brevet ! Vérifions si nos résultats collent à l'énoncé. $12 + 8$ font bien 20 coquillages. Et pour la longueur : $(12 \times 2) + (8 \times 1) = 24 + 8 = 32$ cm. Le compte est bon ! Cette rigueur te permet de quitter l'examen en étant certain d'avoir décroché tous les points de l'exercice.
Les Pièges à éviter
Le premier piège est de vouloir résoudre le problème de tête ou par tâtonnement. Bien que cela puisse fonctionner sur des nombres simples, les correcteurs attendent une démarche algébrique. Si tu ne poses pas l'équation, tu perdras la majorité des points de rédaction. Attention également aux unités : ici, tout est en centimètres, mais sois vigilant si l'on mélangeait des mètres et des centimètres dans d'autres sujets. Un autre piège classique est l'erreur de signe lors de la simplification de l'expression $(20 - x)$. N'oublie pas que le signe devant la parenthèse ou le coefficient s'applique à tout le bloc.
Conseil de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir la note maximale, ta copie doit être structurée. Commence toujours par une phrase claire : "Soit $x$ le nombre de grands coquillages". Présente ensuite ton équation de manière isolée au centre de la copie. Chaque étape de calcul doit figurer sur une nouvelle ligne. Enfin, conclus par une phrase réponse complète : "L'enfant a ramassé 12 grands coquillages et 8 petits coquillages." Un correcteur apprécie la clarté ; une copie propre et bien argumentée est la clé du succès. N'hésite pas à souligner tes résultats finaux.
Pourquoi cette notion est-elle importante ?
Au-delà du Brevet, savoir poser une équation est une compétence utile dans la vie quotidienne et dans de nombreux métiers (économie, artisanat, informatique). C'est la base de la pensée algorithmique. En maîtrisant cet exercice de 2013, tu te prépares non seulement à réussir ton examen, mais aussi à appréhender sereinement le programme de mathématiques du lycée où les systèmes d'équations deviendront plus complexes.