Introduction aux notions de rentabilité et d'algorithmique

Cet exercice du Brevet de Mathématiques 2018 (Polynésie) est un excellent exemple de l'interdisciplinarité entre l'arithmétique, l'algèbre et l'algorithmique. Il traite d'une situation de la vie courante : choisir entre un abonnement à la séance et un investissement matériel. Pour réussir cet exercice, l'élève doit maîtriser les équations pour modéliser le coût et savoir interpréter un script Scratch (algorithmique-programmation). Les deux thèmes sont ici intimement liés car le programme informatique simule la résolution d'une inéquation de type \(ax > b\).

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'énoncé nous présente deux options. L'option A est le paiement à la séance (15 €) avec une fréquence de deux séances par semaine. L'option B est l'achat d'un vélo pour un montant fixe de 999 €. L'objectif est de déterminer le point de bascule entre ces deux dépenses.

1. Compréhension de la tarification à la séance

La première question demande de montrer que 10 semaines coûtent 300 €. Pour guider l'élève, il faut décomposer le calcul : s'il y a 2 séances par semaine, alors en 10 semaines, il y a \(2 \times 10 = 20\) séances. À 15 € l'unité, le calcul est direct : \(20 \times 15 = 300\) €. Cette étape simple permet de vérifier que l'élève a bien intégré la fréquence hebdomadaire, un paramètre crucial pour la suite de l'exercice.

2. Décryptage de l'algorithme Scratch

La question 2 est le cœur du sujet. Le script initialise une variable \(x\) à 0. La boucle « répéter jusqu'à » est une structure itérative qui teste une condition de sortie : \(x \times 2 \times 15 > 999\). Ici, \(x\) représente le nombre de semaines. L'expression \(x \times 2 \times 15\) correspond au coût total cumulé au centre aquatique après \(x\) semaines. Le programme s'arrête dès que ce coût dépasse le prix d'achat du vélo (999 €). La solution affichée par le programme est donc le plus petit nombre entier de semaines nécessaire pour que l'achat du vélo devienne financièrement plus avantageux que les séances individuelles.

3. Résolution mathématique et rentabilité

Pour répondre à la question 3, l'élève peut soit simuler l'algorithme, soit résoudre une inéquation. Mathématiquement, nous cherchons \(x\) tel que \(30x > 999\). En divisant 999 par 30, on obtient \(33,3\). Comme \(x\) doit être un nombre entier de semaines (puisque la variable est incrémentée de 1 en 1 dans le bloc Scratch), la première valeur entière supérieure à 33,3 est 34. Ainsi, à partir de la 34ème semaine, l'investissement est rentabilisé.

Les Pièges à éviter

Le piège principal réside dans l'oubli de la fréquence de pratique. Beaucoup d'élèves oublient de multiplier par 2 (le nombre de séances hebdomadaires) et calculent seulement \(15x > 999\). Un autre point de vigilance concerne la condition de la boucle. Scratch utilise souvent des conditions de type « jusqu'à ce que », ce qui peut être confus. Si le script s'arrête quand le coût est supérieur à 999, c'est que la valeur affichée est celle qui valide l'inéquation. Enfin, attention aux unités : l'exercice demande des semaines, pas des séances ou des mois.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, il est essentiel de bien rédiger le passage du script à l'équation. Ne vous contentez pas de donner le résultat. Écrivez : « Dans le programme Scratch, la variable x représente le nombre de semaines. La condition \(x \times 2 \times 15 > 999\) cherche le moment où le coût cumulé dépasse 999 €. » Pour la résolution, montrez l'opération \(999 / 30\) et concluez par une phrase claire : « Le vélo est rentabilisé à partir de la 34ème semaine. » Une réponse précise et structurée montre au correcteur que vous avez compris la logique informatique derrière le calcul mathématique.