Analyse de l'énoncé : Fonctions et Stratégies de Calcul

Cet exercice sur les Fonctions, le Tableur, le Calcul littéral et les Équations est un excellent entraînement pour le Brevet. Il exige de l'élève une polyvalence entre le calcul numérique direct, l'interprétation des outils informatiques (le tableur) et la manipulation algébrique (factorisation et résolution d'équations).

Les deux fonctions étudiées sont $f(x) = x^2 - x - 6$ (une fonction du second degré) et $g(x) = -2x$ (une fonction linéaire, cas particulier de la fonction affine).

Points clés de l'exercice et Méthodes de Résolution

1. Application des Fonctions (Images et Antécédents)

• Calcul de l'image (Q 1.a) : Trouver l'image de 5 par $f$ nécessite de remplacer $x$ par 5 dans l'expression de $f(x)$. $f(5) = 5^2 - 5 - 6 = 25 - 11 = 14$. Il s'agit d'une vérification de base du concept d'image.
• Détermination de l'antécédent (Q 1.b) : Trouver l'antécédent de 4 par $g$ revient à résoudre l'équation $g(x) = 4$, soit $-2x = 4$. La solution est $x = -2$. Cette étape valide la compréhension des fonctions linéaires.

2. Interprétation du Tableur (Q 1.c, d, e)

Le tableur est utilisé comme un outil de calcul et d'aide à l'interprétation graphique.

• Antécédents multiples (Q 1.c) : L'antécédent de 14 par $f$ est donné par la question 1.a (c'est 5). Le tableur montre que $f(-4)=14$ (cellule B2). Les deux antécédents sont donc $-4$ et $5$.
• Formule tableur (Q 1.d) : La cellule B2 calcule $f(-4)$. Sachant que la valeur $x = -4$ se trouve en B1, la formule doit être $x^2 - x - 6$, ce qui se traduit par la formule tableur : =B1^2 - B1 - 6.
• Points d'intersection (Q 1.e) : Chercher un nombre qui a la même image par $f$ et $g$ revient à résoudre $f(x) = g(x)$. La lecture du tableur révèle deux paires de valeurs égales : $f(-3) = 6$ et $g(-3) = 6$ ; ainsi que $f(2) = -4$ et $g(2) = -4$. Les nombres sont donc $x=-3$ et $x=2$.

3. Calcul Littéral et Résolution d'Équations (Partie 2)

• Développement et Factorisation (Q 2.a) : Prouver l'égalité $(x+2)(x-3) = f(x)$ nécessite de développer l'expression factorisée. $(x+2)(x-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$. Ceci confirme l'identité.
• Résolution d'Équation Produit Nul (Q 2.b) : L'équation $f(x)=0$ est résolue plus facilement en utilisant la forme factorisée : $(x+2)(x-3) = 0$. Le théorème du produit nul donne deux solutions : $x+2=0$ (soit $x=-2$) et $x-3=0$ (soit $x=3$).