Analyse de l'énoncé : Construction et Géométrie

Cet exercice, tiré de l'épreuve du Brevet 2024 en Amérique du Sud, teste la maîtrise des outils fondamentaux de la géométrie de 3ème : le théorème de Pythagore, la trigonométrie (pour déterminer un angle) et le calcul de volume d'un prisme droit. Le contexte est l'aménagement d'un terrain en pente nécessitant le retrait de terre, modélisé par un prisme à base triangulaire rectangle.

Question 1 : Justification de la longueur CB (Théorème de Pythagore)

Le triangle ABC est rectangle en C. Nous connaissons la longueur de l'hypoténuse AB (17 m) et la longueur du côté AC (2,6 m). Nous appliquons le théorème de Pythagore :

• $AB^2 = AC^2 + CB^2$
• $17^2 = 2,6^2 + CB^2$
• $289 = 6,76 + CB^2$
• $CB^2 = 289 - 6,76 = 282,24$
• $CB = \sqrt{282,24} = 16,8$ m

La longueur CB est bien égale à 16,8 m.

Question 2 : Incidence sur le coût des travaux (Trigonométrie)

Pour déterminer si l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ est supérieur à $8,5\degres$, nous utilisons la trigonométrie. Dans le triangle rectangle ABC, nous connaissons le côté opposé à cet angle (AC) et l'hypoténuse (AB). Nous utilisons la fonction sinus :

• $\sin(\widehat{\text{ABC}}) = \text{Opposé} / \text{Hypoténuse} = AC / AB$
• $\sin(\widehat{\text{ABC}}) = 2,6 / 17$
• En utilisant la fonction arcsin (ou $\sin^{-1}$) sur la calculatrice : $\widehat{\text{ABC}} \approx 8,80\degres$.

Puisque $8,80\degres$ est supérieur à $8,5\degres$, cela entraînera effectivement un surcoût des travaux.

Question 3 : Calcul du volume de terre à enlever (Volume d'un prisme droit)

Le volume $V$ du prisme droit est donné par la formule : $V = \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}$. La base est le triangle rectangle ACB, et la hauteur du prisme est $H = CF = 30$ m.

Étape 1 : Calcul de l'aire de la base (Triangle ACB)

$$\text{Aire}_{\text{base}} = (AC \times CB) / 2$$

$$\text{Aire}_{\text{base}} = (2,6 \times 16,8) / 2 = 43,68 / 2 = 21,84 \text{ m}^2$$

Étape 2 : Calcul du volume

$$V = 21,84 \times 30$$

$$V = 655,2 \text{ m}^3$$

Le volume de terre à enlever est de 655,2 m$^3$.