Analyse de l'énoncé : Les 3 Piliers de la Géométrie

Cet exercice, issu du Brevet 2024 des Antilles et de la Martinique, est un excellent sujet de révision car il enchaîne de manière logique les trois grandes notions de géométrie du programme de Troisième : le théorème de Pythagore (direct et réciproque), le théorème de Thalès, et la Trigonométrie.

Le contexte (un parcours de course) est une application concrète qui demande une analyse rigoureuse des figures et des données fournies. Il est crucial d'identifier le triangle rectangle pertinent pour chaque calcul.

Points clés de la résolution

• Calcul de DK et Réciproque de Pythagore : La première étape, souvent simple (DK = DL - KL = 600 - 120 = 480 m), sert de tremplin. La question 2 est la première vérification majeure : utiliser la réciproque de Pythagore dans le triangle DKJ pour prouver qu'il est rectangle en K (Vérification : $DK^2 + KJ^2 = DJ^2$). Cette démonstration est essentielle pour la suite.
• Parallélisme et Théorème de Thalès : Une fois que l'on sait que le triangle DKJ est rectangle en K, on en déduit que la droite (KJ) est perpendiculaire à (DL). Comme le triangle DLA est rectangle en L, (LA) est aussi perpendiculaire à (DL). Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles, d'où $(KJ) // (LA)$. C'est la condition d'application du théorème de Thalès dans les triangles emboîtés $DKJ$ et $DLA$, permettant de calculer la longueur $LA$.
• Pythagore et Calcul de Trajet : Une fois $LA$ calculé grâce à Thalès, le segment $DA$ est obtenu par le théorème de Pythagore direct dans le triangle $DLA$ rectangle en L. La somme des segments $DK + KJ + JA$ permet ensuite de donner la longueur totale du parcours fléché.
• Vérification Angulaire par Trigonométrie : La dernière question fait appel à la Trigonométrie. Dans le triangle $DLA$ rectangle en L, la tangente est l'outil le plus adapté pour trouver la mesure de l'angle $\widehat{LDA}$ et répondre à la question du photographe. La maîtrise de $tan^{-1}$ (ou $arctan$) sur la calculatrice est indispensable.

Maîtriser cet exercice assure une excellente préparation pour l'épreuve de géométrie du DNB.