Analyse de l'énoncé : Un Bilan Complet des Notions de 3ème
Cet exercice du Brevet 2022 (Amérique du Nord) est particulièrement riche puisqu'il sollicite simultanément le Théorème de Pythagore, le Théorème de Thalès (configuration dite « papillon » ou « sablier »), la Trigonométrie, la compréhension des Transformations (Homothétie) et la gestion des Agrandissements-Réductions, notamment concernant le rapport des aires.
La figure met en scène deux triangles, $ ext{MHS}$ et $ ext{MAT}$, avec les alignements $ ext{M}$, $ ext{A}$, $ ext{S}$ et $ ext{M}$, $ ext{T}$, $ ext{H}$. L'interprétation classique des figures du Brevet, couplée aux questions, nous pousse à considérer que les triangles $ ext{MHS}$ et $ ext{MAT}$ sont rectangles, respectivement en $ ext{H}$ et $ ext{T}$ (impliquant ainsi que $( ext{HS})$ et $( ext{AT})$ sont parallèles).
Points clés de la résolution
1. Application du Théorème de Pythagore (Question 1)
Le triangle $ ext{MHS}$ étant rectangle en $ ext{H}$, nous appliquons le théorème de Pythagore : $ ext{MS}^2 = ext{MH}^2 + ext{HS}^2$. Avec $ ext{MS} = 13$ cm et $ ext{MH} = 5$ cm, nous trouvons : $ ext{HS}^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$. Ainsi, $ ext{HS} = \sqrt{144} = 12$ cm.
2. Application du Théorème de Thalès (Question 2)
Puisque les points $ ext{M}$, $ ext{A}$, $ ext{S}$ et $ ext{M}$, $ ext{T}$, $ ext{H}$ sont alignés et que $( ext{AT}) // ( ext{HS})$, nous appliquons l'égalité de Thalès : $ ext{AT}/ ext{HS} = ext{MT}/ ext{MH}$.
Le rapport d'agrandissement $k = ext{MT}/ ext{MH} = 7/5 = 1,4$. D'où $ ext{AT} = ext{HS} imes k = 12 imes 1,4 = 16,8$ cm.
3. Utilisation de la Trigonométrie (Question 3)
Dans le triangle rectangle $ ext{MHS}$, pour calculer l'angle $\widehat{ ext{HMS}}$, nous utilisons la fonction Cosinus (Côté Adjacent / Hypothénuse) : $\cos(\widehat{ ext{HMS}}) = ext{MH} / ext{MS} = 5/13$. En utilisant la calculatrice ($\arccos$), nous obtenons $\widehat{ ext{HMS}} \approx 67,38^\circ$. Arrondi au degré près, cela donne $67^\circ$.
4. Identification de la Transformation (Question 4)
Le triangle $ ext{MAT}$ est une image agrandie du triangle $ ext{MHS}$ (rapport $k=1,4$). Les sommets sont alignés avec le point $ ext{M}$. La transformation qui conserve les formes mais modifie les tailles est l'Homothétie de centre $ ext{M}$.
5. Rapport des Aires (Question 5)
L'élève commet une erreur classique. Si les longueurs sont multipliées par un rapport $k$, les aires sont multipliées par $k^2$. Ici, $k = 1,4$. Le rapport des aires est donc $k^2 = (1,4)^2 = 1,96$. L'affirmation de l'élève est Fausse. L'aire de $ ext{MAT}$ est $1,96$ fois plus grande que l'aire de $ ext{MHS}$.