Analyse de l'énoncé : Maîtriser Géométrie et Finances

L'exercice 3 du Brevet 2020 (Métropole) est un excellent exemple d'application des mathématiques à une situation réelle : la conception et la construction d'un portique de balançoires. Il est structuré pour tester une large palette de compétences du programme de 3ème, allant des théorèmes fondamentaux de la géométrie aux calculs commerciaux. Réussir cet exercice démontre une capacité à naviguer entre différentes notions mathématiques.

Points clés par question : La boîte à outils du DNB

• Question 1 (Hauteur AH) : Le Théorème de Pythagore. Le portique vu de côté forme un triangle isocèle ABC. Puisque H est le milieu de [BC], le triangle ABH est rectangle en H. Nous connaissons l'hypoténuse AC (342 cm) et la moitié de la base HC (290 / 2 = 145 cm). L'application du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ABH est indispensable pour trouver la hauteur AH. N'oubliez pas l'arrondi au centimètre près demandé.
• Question 2 (Longueur MN) : Le Théorème de Thalès. La question utilise la condition de parallélisme (MN) // (BC) dans le triangle ABC, avec A comme sommet principal. La relation de Thalès permet d'établir le rapport $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$. Avec AN = 165 cm, AC = 342 cm et BC = 290 cm, vous pouvez calculer MN. La démarche doit aboutir à la valeur cible de 140 cm, ce qui valide votre méthode.
• Question 3 & 4 (Coût et Prix de Vente) : Recherche d'informations et Pourcentages. Ces questions sont cruciales pour valider votre capacité à extraire des données pertinentes du Document 2. Le portique nécessite 4 poutres inclinées (342 cm $\rightarrow$ 3,5 m) et 2 barres de maintien (140 cm $\rightarrow$ 1,5 m). Le calcul du coût minimal est la somme du coût des matériaux, des fixations (80 €) et des balançoires (50 €). La question 4 requiert ensuite d'appliquer un coefficient multiplicateur de 1,20 (augmentation de 20%) au coût minimal trouvé, en veillant à l'arrondi final au centime près.
• Question 5 (Angle de sécurité $\widehat{BAC}$) : La Trigonométrie. Pour vérifier la condition de sécurité, il faut calculer l'angle $\widehat{BAC}$. Dans le triangle rectangle ABH, on peut utiliser les mesures connues (AH et AC ou AH et HC) pour trouver l'angle $\widehat{BAH}$. Le cosinus (Côté adjacent/Hypoténuse) est souvent le plus direct. L'angle $\widehat{BAC}$ étant le double de $\widehat{BAH}$ (triangle isocèle), la comparaison avec l'intervalle [45° ; 55°] permet de conclure sur la conformité du portique.

Cet exercice complet souligne l'importance de mobiliser à la fois les outils de la géométrie plane et les compétences numériques pour résoudre un problème de construction concret.