Introduction au Sujet de Bac Spécialité Maths - Métropole 2023 (Sujet 2)

Le sujet de mathématiques de la session 2023 pour la métropole (jour 2) est un excellent exemple d'équilibre entre les techniques de calcul pures et la modélisation. Il couvre les quatre piliers majeurs du programme de Terminale : les probabilités (loi binomiale), l'analyse de suites (convergences et limites), la géométrie dans l'espace (vecteurs et plans), et l'étude de fonctions (logarithme et convexité).

Pour les élèves préparant le baccalauréat, ce sujet est particulièrement formateur car il demande non seulement de savoir appliquer des formules, mais aussi de comprendre le sens des objets mathématiques manipulés (interprétation biologique, sens géométrique, etc.). Voici une analyse détaillée, exercice par exercice, pour vous aider à aborder cette épreuve avec sérénité.

Exercice 1 : Probabilités et QCM (5 points)

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiple (QCM), un format classique pour débuter l'épreuve. Il teste la rapidité et la précision sans demander de rédaction détaillée.

• Thèmes abordés : Probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, épreuves de Bernoulli et loi Binomiale.
• Analyse : La première partie modélise un choix entre deux mondes de jeu vidéo. Il faut construire (mentalement ou au brouillon) un arbre de probabilités pondéré. La difficulté réside souvent dans la lecture de l'énoncé : ne pas confondre la probabilité de l'intersection $P(A \cap G)$ avec la probabilité conditionnelle $P_A(G)$.
• Le piège de la Loi Binomiale : La seconde partie bascule sur la répétition de 10 parties indépendantes. C'est le signal pour utiliser la loi Binomiale $\mathcal{B}(10; p)$. Les questions demandent de calculer une probabilité exacte ($X=k$), une probabilité cumulée ($X \le k$) et la probabilité de l'événement "au moins un succès". Rappelez-vous que pour "au moins un", il est toujours plus simple de passer par l'événement contraire "aucun succès".

Exercice 2 : Suites Numériques et Modélisation (5 points)

C'est l'exercice de modélisation par excellence. Il met en scène une population d'insectes avec deux modèles successifs : une croissance exponentielle (suite géométrique) puis une croissance logistique (avec contrainte de milieu).

• Partie A (Modèle simple) : Une suite géométrique classique. Les compétences évaluées sont l'expression du terme général en fonction de $n$, le calcul de limites et la résolution d'inéquations de type $q^n > A$ (faisant appel au logarithme).
• Partie B (Modèle logistique) : Le niveau monte d'un cran. On étudie une suite récurrente du type $v_{n+1} = f(v_n)$.
  • Points clés : L'étude de la fonction associée $f(x) = 1,6x - 1,6x^2$ est primordiale pour justifier la récurrence. La démonstration par récurrence demande de prouver une chaîne d'inégalités $0 \le v_n \le v_{n+1} \le 1/2$. C'est souvent là que les élèves perdent des points de rigueur.
  • Théorème de convergence monotone : Il faut invoquer ce théorème pour prouver l'existence de la limite, puis résoudre l'équation du point fixe $f(\ell) = \ell$ pour trouver sa valeur.
  • Algorithmique : L'exercice se termine par une lecture de script Python. Il s'agit d'un algorithme de seuil classique. Il faut être capable de "faire tourner" la boucle while à la main pour comprendre ce qu'elle renvoie.

Exercice 3 : Géométrie dans l'Espace (5 points)

Un exercice très géométrique qui demande une bonne vision dans l'espace et une maîtrise parfaite des produits scalaires et des représentations paramétriques.

• Les notions : Équations cartésiennes de plans, vecteurs normaux, orthogonalité, intersection plan/plan et projetés orthogonaux.
• Difficultés et Méthode :
  1. Pour montrer que deux plans sont perpendiculaires, le réflexe immédiat doit être de calculer le produit scalaire de leurs vecteurs normaux.
  2. L'intersection de deux plans définissant une droite $\Delta$ : il faut vérifier que la représentation paramétrique donnée vérifie les équations des deux plans simultanément.
  3. Calcul de distance : L'étude de la distance d'un point à une droite variable $M_t$ introduit une fonction du second degré sous une racine carrée. Le minimum de cette fonction correspond à la distance du projeté orthogonal.
  4. La dernière question demande de prouver qu'un quadrilatère est un rectangle. Cela nécessite de démontrer que l'on a un parallélogramme (égalité vectorielle) avec un angle droit (produit scalaire nul), ou trois angles droits.

Exercice 4 : Analyse de Fonction (5 points)

L'exercice d'analyse porte sur la fonction $f(x) = \ln(1 + \text{e}^{-x})$. C'est une étude de fonction assez pure mais fine.

• Limites et Asymptotes : L'étude aux bornes ($\pm \infty$) nécessite une bonne maîtrise des composées. Attention à l'interprétation graphique en $+\infty$ (asymptote horizontale).
• Dérivée et Variations : La dérivée de $\ln(u)$ est $u'/u$. Ici, la dérivée fait apparaître une exponentielle qui est toujours positive, simplifiant l'étude du signe.
• Convexité : Une question importante porte sur la position de la courbe par rapport à sa tangente. Cela renvoie à la notion de convexité. Il faut être capable de dériver une seconde fois ou d'utiliser les propriétés de la dérivée pour conclure.
• La subtilité finale : La dernière partie introduit des points symétriques $M_a$ et $N_a$. La relation $f(x) - f(-x) = -x$ est une propriété fonctionnelle élégante qui permet de déduire le parallélisme de droites. C'est typiquement la question qui permet de discriminer les très bonnes copies.

Conclusion

Ce sujet Métropole 2023 (Sujet 2) est complet. Il ne comporte pas de pièges "vicieux" mais exige une rédaction rigoureuse, notamment sur la récurrence (Exo 2) et la géométrie (Exo 3). La maîtrise du cours (Loi Binomiale, théorèmes de convergence, dérivées usuelles) suffit pour obtenir une très bonne note, à condition de rester concentré sur le sens des questions.