Analyse de l'Exercice 2 : Probabilités et Production Industrielle

Cet exercice, issu du Sujet 2 du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2021 pour la zone Métropole, est un classique incontournable pour les élèves de Terminale. Il aborde deux piliers majeurs du programme de probabilités : le conditionnement et la loi binomiale. Le contexte concret d'une chaîne de fabrication et de tests de qualité permet d'appliquer les formules mathématiques à une situation réelle, rendant l'analyse particulièrement pertinente pour comprendre les enjeux de la prise de décision basée sur les statistiques.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs compétences techniques et savoir interpréter les énoncés avec précision.

1. Modélisation par Arbre Pondéré

La première partie repose sur la construction rigoureuse d'un arbre de probabilités. La difficulté réside souvent dans la traduction correcte des données textuelles en notations mathématiques :

• Savoir distinguer la probabilité d'un événement (ex: $P(D)$) d'une probabilité conditionnelle (ex: $P_D(T)$ ou probabilité de $T$ sachant $D$).
• Placer correctement les valeurs sur les branches primaires et secondaires.
• Utiliser la règle des nœuds (la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1) pour déduire les probabilités manquantes, comme $P(\overline{D})$ ou $P_{\overline{D}}(T)$.

2. Calculs de Probabilités (Totales et Inverses)

Une fois l'arbre construit, l'élève doit manipuler la formule des probabilités totales pour déterminer la probabilité d'un événement situé en bout de chaîne (ici l'événement $T$). La question sur la « valeur prédictive positive » est une application classique de la formule de Bayes (ou probabilité des causes). Il s'agit de calculer une probabilité conditionnelle « inversée » par rapport à l'énoncé, c'est-à-dire $P_T(D)$. La clé est de revenir à la définition fondamentale : $P_T(D) = \frac{P(D \cap T)}{P(T)}$.

3. Maîtrise de la Loi Binomiale

La seconde partie de l'exercice bascule sur une répétition d'épreuves indépendantes (tirage avec remise). Les points essentiels à valider sont :

• Justification de la loi : Il faut identifier explicitement le schéma de Bernoulli (succès/échec), la répétition de $n$ épreuves identiques et indépendantes, et définir les paramètres $n$ et $p$.
• Calculs d'événements : Le calcul de la probabilité « au moins une pièce défectueuse » ($P(X \ge 1)$) se traite presque toujours par l'événement contraire ($1 - P(X=0)$) pour simplifier les calculs.
• Espérance mathématique : Connaître la formule $E(X) = n \times p$ est indispensable, mais savoir l'interpréter dans le contexte (nombre moyen de pièces défectueuses sur un grand nombre d'échantillons) est ce qui rapporte tous les points.

Cet exercice constitue un excellent entraînement car il demande de la rigueur dans la notation et une bonne compréhension des mécanismes probabilistes fondamentaux attendus au Bac.