Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2022, issu du sujet 2 des Centres Étrangers, est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Ce format exige une maîtrise rapide et précise d'un large éventail de notions d'analyse mathématique. Pour réussir cet exercice, il ne suffit pas de deviner la réponse, mais de savoir mobiliser les propriétés fondamentales des fonctions, en particulier la fonction exponentielle.

1. Maîtrise du calcul de dérivées

La première compétence sollicitée est le calcul de la dérivée d'une fonction composée faisant intervenir l'exponentielle. Ici, la forme $\frac{u}{v}$ ou le produit $u \times v$ (en réécrivant $\frac{x}{e^x}$ comme $x e^{-x}$) est classique. L'élève doit savoir appliquer rigoureusement les formules de dérivation $(uv)' = u'v + uv'$ ou $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ sans faire d'erreur de signe, notamment avec la dérivée de $e^{-x}$ qui est $-e^{-x}$.

2. Convexité et lecture graphique

Plusieurs questions (la 2 et la 6) reposent sur le lien entre une fonction $f$, sa dérivée $f'$ et sa dérivée seconde $f''$. Il est crucial de comprendre les équivalences suivantes :

• Si $f''$ est positive sur un intervalle, alors $f$ est convexe.
• Si $f''$ est négative, $f$ est concave.
• Les points d'intersection de la courbe de $f''$ avec l'axe des abscisses (où $f''$ s'annule en changeant de signe) correspondent aux points d'inflexion de $f$.

Dans la question 6, le candidat doit faire le cheminement inverse : observer la courbure de $f$ (concavité/convexité) pour en déduire l'allure de $f''$. Savoir repérer visuellement un changement de concavité est ici la clé.

3. Calcul de primitives et équations différentielles

Le sujet teste également la capacité à identifier une primitive. Deux stratégies sont possibles : calculer directement la primitive (souvent difficile sans indication) ou, plus astucieusement dans un QCM, dériver les propositions données pour retrouver la fonction originale. La question 5 ajoute une condition initiale ($F(0) = 1$), ce qui oblige à évaluer la constante d'intégration. Il faut reconnaître les formes du type $u'e^u$ qui se primitivent en $e^u$.

4. Limites de fonctions

Enfin, l'étude des limites en l'infini est abordée. Pour les formes indéterminées du type $\frac{\infty}{\infty}$ avec des exponentielles, la méthode standard consiste à factoriser par le terme prépondérant (ici $e^x$) au numérateur et au dénominateur pour lever l'indétermination. C'est un réflexe à avoir systématiquement en analyse asymptotique.

En résumé, cet exercice 1 balaie les fondamentaux de l'analyse en Terminale. La réussite repose sur la rigueur du calcul algébrique et une bonne intuition graphique.