Analyse du Sujet Bac Maths 2024 - Centres Étrangers (Sujet 2)

Le sujet du Baccalauréat de Mathématiques des Centres Étrangers (Europe), tombé le 6 juin 2024, est un classique du genre qui balaie les quatre piliers du programme de Terminale Spécialité : Probabilités (orientées dénombrement), Analyse (exponentielle), Géométrie dans l'espace et Suites numériques. Voici une analyse détaillée pour optimiser vos révisions.

Exercice 1 : Dénombrement et Variables Aléatoires (5 points)

Contrairement aux exercices classiques basés sur l'arbre de probabilités ou la loi Binomiale directe, cet exercice démarre par du dénombrement pur (listes ordonnées avec remise).

• Les notions clés : Tirages avec remise (modèle $n^p$), événement contraire pour calculer « au moins une répétition », espérance d'une somme de variables indépendantes.
• La difficulté : La dernière partie demande de la rigueur. Calculer $P(S=24)$ ou $P(S \ge 22)$ nécessite de lister méthodiquement les combinaisons possibles (ex: 8+8+8, 8+8+7, etc.) car aucune loi usuelle ne donne le résultat directement.
• Le piège : Confondre tirage avec et sans remise, ou oublier l'ordre des tirages dans le dénombrement initial.

Exercice 2 : Étude de Fonction Exponentielle et Convexité (6 points)

Une étude de fonction complète sur l'intervalle $]-\infty; 1[$. La fonction $f(x) = \frac{e^x}{x-1}$ présente une asymptote verticale, ce qui est moins fréquent que les fonctions définies sur $\mathbb{R}$.

• Les notions clés : Limites (attention à la forme indéterminée ou aux signes autour de 1), dérivée d'un quotient, étude de variations, et surtout la convexité.
• Compétences évaluées : On vous donne la dérivée seconde $f''(x)$, il faut « juste » étudier son signe. Le point crucial est l'utilisation de la convexité pour prouver une inégalité (la courbe est au-dessus de sa tangente).
• Le piège : L'encadrement de la solution $\alpha$ avec le TVI (Théorème des Valeurs Intermédiaires) demande une bonne maîtrise de la calculatrice.

Exercice 3 : Géométrie dans l'espace (5 points)

L'incontournable exercice dans un cube. Ici, pas de produit scalaire complexe, mais une approche analytique pure via les coordonnées.

• Les notions clés : Repérage dans l'espace, vecteur normal à un plan, équation cartésienne de plan ($ax+by+cz+d=0$), représentation paramétrique de droite et calcul de volume d'une pyramide.
• La difficulté : Le calcul des coordonnées du projeté orthogonal (point K) demande de résoudre un système (intersection droite/plan). De plus, le calcul final de l'aire du triangle repose sur la déduction via le volume, une méthode élégante qu'il faut repérer.
• Conseil : Vérifiez toujours que vos coordonnées vérifient l'équation du plan trouvée.

Exercice 4 : Suites et Fonction Racine Carrée (4 points)

Un exercice de type « fonction puis suite » autour du nombre d'or. La fonction étudiée est $f(x) = \sqrt{x+1}$.

• Les notions clés : Résolution d'équation $f(x)=x$ (point fixe), récurrence pour prouver la décroissance et la minoration, théorème de convergence monotone.
• L'algorithmique : Le script Python est une fonction de « seuil » classique. Il calcule le rang à partir duquel la suite est proche de sa limite à $10^{-n}$ près.
• Le piège : Ne pas s'embrouiller dans les calculs algébriques lors de la récurrence (manipulation d'inégalités avec la racine carrée).