Compétences et clés de réussite

Cet exercice 2 du sujet de secours d'Amérique du Nord 2025 (Sujet 2) est un classique du baccalauréat en spécialité mathématiques : le questionnaire de type Vrai/Faux avec justification. Il couvre l'ensemble du chapitre sur la géométrie dans l'espace. Pour réussir ce type d'exercice, il est impératif de maîtriser la lecture et la manipulation des représentations paramétriques de droites et des équations cartésiennes de plans.

1. Parallélisme de droites

La première affirmation teste la capacité à extraire un vecteur directeur d'une représentation paramétrique. Pour vérifier si deux droites sont parallèles, l'élève doit déterminer si leurs vecteurs directeurs respectifs sont colinéaires. C'est une application directe de la proportionnalité des coordonnées.

2. Orthogonalité entre droite et plan

Ici, la situation implique trois points définissant un plan. L'affirmation demande si une droite donnée est orthogonale à ce plan. La méthode attendue consiste à vérifier si le vecteur directeur de la droite est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires formés par les points du plan (par exemple les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$). L'utilisation du produit scalaire est ici centrale. Attention à bien vérifier que le repère est orthonormé pour conclure sur l'orthogonalité géométrique.

3. Intersection de droites

Pour déterminer si deux droites sont sécantes, il faut résoudre un système d'équations mettant en jeu leurs représentations paramétriques respectives (avec deux paramètres distincts, par exemple $t$ et $t'$). Si le système admet une solution unique pour le couple $(t, t')$, les droites sont sécantes. S'il n'y a pas de solution, elles peuvent être strictement parallèles ou non coplanaires.

4. Projeté orthogonal

Cette question vérifie la compréhension de la projection orthogonale d'un point sur un plan. Deux conditions doivent être réunies et vérifiées :

• Le point projeté $F$ doit appartenir au plan $P$ (ses coordonnées doivent vérifier l'équation du plan).
• Le vecteur formé par le point d'origine et le projeté (vecteur $\vec{EF}$) doit être colinéaire au vecteur normal du plan $P$.

5. Droite et plan parallèles avec paramètre

Enfin, la dernière affirmation introduit une inconnue $a$ dans l'équation d'un plan. Dire qu'une droite est parallèle à un plan revient à dire que le vecteur directeur de la droite est orthogonal au vecteur normal du plan. L'élève doit donc poser l'équation du produit scalaire nul et résoudre l'équation en $a$ (qui contient ici un terme en $a^2$) pour dénombrer les solutions.

En résumé, cet exercice exige de la rigueur dans les justifications : un simple calcul ne suffit pas, il faut expliciter le lien entre les vecteurs (directeurs ou normaux) et les positions relatives des objets géométriques.