Analyse du Sujet de Bac Spécialité Maths – Nouvelle-Calédonie (Session 2, Août 2023)

Ce sujet de la session de remplacement de Nouvelle-Calédonie, daté du 29 août 2023, est un excellent support d'entraînement. Il couvre les quatre piliers majeurs du programme de Terminale sans surprise déstabilisante, mais avec une exigence de rigueur technique. C'est un sujet équilibré, idéal pour vérifier la solidité des acquis avant l'examen final.

Exercice 1 : Géométrie dans l'espace (5 points)

Cet exercice classique se déroule dans un cube, configuration spatiale la plus fréquente au Bac. Il permet de balayer l'ensemble des compétences vectorielles.

• Les notions clés : Repérage dans l'espace, volume d'un tétraèdre, vecteur normal, équation cartésienne de plan, représentation paramétrique de droite et projection orthogonale.
• Le piège à éviter : La question 2 demande de calculer un volume. Attention à bien identifier la base et la hauteur. Ici, le tétraèdre est construit sur un coin du cube, ce qui facilite les calculs si l'on choisit le bon sommet comme référence.
• La compétence évaluée : La capacité à passer d'une vision géométrique (points, droites) à une vision analytique (systèmes d'équations, coordonnées). La question 5 demande de calculer la distance d'un point à un plan via le projeté orthogonal.

Exercice 2 : Analyse de Fonction et Convexité (5 points)

Une étude de fonction exponentielle assez pure. L'exercice est structuré pour guider l'élève de l'étude des variations jusqu'à des propriétés plus fines comme la convexité.

• Analyse de la fonction : La fonction $f(x) = x\text{e}^{-x}$ nécessite une bonne maîtrise de la dérivée d'un produit $(uv)'$. L'étude des limites en $+\infty$ fait appel aux croissances comparées (ou à la réécriture fournie $\frac{x}{\text{e}^x}$).
• TVI et Convexité : On retrouve l'application du Théorème des Valeurs Intermédiaires pour résoudre $f(x) = k$. La partie convexité demande de calculer la dérivée seconde. C'est un point souvent négligé par les élèves : il faut être capable de dériver deux fois sans erreur de signe.
• La question subtile : La dernière partie (question 6) relie l'équation de la tangente à un problème d'optimisation géométrique. Il faut démontrer que l'ordonnée à l'origine de la tangente est maximale au point d'inflexion. C'est la "question pour l'excellence" du sujet.

Exercice 3 : Suites Numériques (5 points)

On retrouve ici une suite définie par récurrence homographique $u_{n+1} = \frac{-u_n - 4}{u_n + 3}$. C'est un grand classique.

• Python et Algorithmique : Le sujet commence par de l'algorithmique. Il s'agit simplement de compléter une boucle pour calculer les termes successifs. Rien de complexe, mais il faut connaître la syntaxe range(n).
• Raisonnement par récurrence : L'élève doit démontrer un encadrement de la suite. C'est l'outil indispensable pour prouver la convergence (suite décroissante et minorée).
• Suite auxiliaire : Pour trouver l'expression explicite de $u_n$, le sujet introduit une suite auxiliaire $(v_n)$. Il faut prouver qu'elle est arithmétique. C'est une mécanique bien huilée : calculer $v_{n+1} - v_n$, simplifier, trouver la raison constante, puis remonter à $u_n$.

Exercice 4 : Probabilités (QCM) (5 points)

Le QCM final mélange lecture de données et calculs de probabilités. Aucune justification n'est demandée, mais le brouillon doit être impeccable.

• Probabilités conditionnelles : Les premières questions reposent sur un tableau à double entrée. Il faut être vigilant sur l'univers de référence (parmi qui calcule-t-on la probabilité ?).
• Indépendance et Union : Le contexte des pannes de bus/train teste la compréhension de l'indépendance ($P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$) et la formule de l'union ($P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$).
• Loi binomiale déguisée : La dernière question sur la probabilité d'obtenir "au moins une fois FACE" sur $n$ lancers se résout classiquement par l'événement contraire : $1 - P(\text{"zéro FACE"})$.

Conclusion : Ce sujet de Nouvelle-Calédonie est un "must-do" pour les révisions. Il ne comporte pas de complexité exotique mais demande une exécution parfaite des méthodes standards.