Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat Nouvelle-Calédonie 2022 (Sujet 1) est un classique de l'épreuve de spécialité mathématiques. Il combine l'analyse d'une fonction numérique avec l'étude d'une suite récurrente définie par $u_{n+1} = f(u_n)$. Voici les points clés pour réussir ce type de problème :

1. Maîtrise de la fonction exponentielle et calculs de base

Le début de l'exercice demande de calculer les premiers termes de la suite. Il est essentiel de savoir manipuler les valeurs exactes (avec $e$) et les valeurs approchées. L'analyse du script Python requiert de comprendre la boucle for et l'accumulation de valeurs dans une variable. Ici, l'algorithme calcule simplement le terme de rang $n$ de la suite.

2. Étude de la fonction support

La partie analyse fonctionnelle exige une dérivation rigoureuse. La fonction $f(x) = x^3e^x$ est de la forme $uv$. Il faut appliquer la formule $(uv)' = u'v + uv'$ sans erreur de signe. La factorisation par $e^x$ (qui est toujours strictement positif) permet ensuite d'étudier le signe de la dérivée qui ne dépendra que du polynôme restant. La lecture et la justification du tableau de variations sont des prérequis indispensables.

3. Raisonnement par récurrence

Le cœur de l'exercice repose sur une démonstration par récurrence pour prouver l'encadrement de la suite et sa décroissance (ou croissance). Pour l'hérédité, la clé de la réussite est d'utiliser le sens de variation de la fonction $f$ établi précédemment. Puisque $f$ est croissante sur l'intervalle considéré, elle conserve l'ordre des inégalités ($a < b \Rightarrow f(a) < f(b)$).

4. Convergence et limites

Enfin, l'exercice se conclut par l'utilisation du théorème de convergence monotone. Une fois la convergence prouvée, la détermination de la limite $\ell$ se fait en résolvant l'équation du point fixe $f(x) = x$. Cela nécessite de savoir résoudre des équations transcendantes simples impliquant l'exponentielle et de rejeter les solutions qui ne sont pas cohérentes avec l'intervalle d'étude de la suite.